Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho các điểm A ( 1 ; 3 ) , B ( 0 ; 2 ) , C ( 4 ; 5 ) . Xác định các điểm E , F , biết rằng −−→ CE = 3 −−→ AB − 4 −−→ AC , −−→ AF + 2 −−→ BF − 4 −−→ CF = → 0

+ Ta có \[\overrightarrow {AB}  = \left( { - 1; - 1} \right) \Rightarrow 3\overrightarrow {AB}  = \left( { - 3; - 3} \right)\]

\[\overrightarrow {AC}  = \left( {3;2} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 12; - 8} \right)\]

\[\overrightarrow {CE}  = 3\overrightarrow {AB}  - 4\overrightarrow {AC}  = \left( { - 15; - 11} \right)\]

 \( \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - {x_C} =  - 15\\{y_E} - {y_C} =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} - 4 =  - 15\\{y_E} - 5 =  - 11\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_E} =  - 11\\{y_E} =  - 6\end{array} \right..\) Vậy \(E\left( { - 11; - 6} \right)\).

+ Ta có: \(\overrightarrow {AF}  = \left( {{x_F} - 1;{y_F} - 3} \right)\)

\(\overrightarrow {BF}  = \left( {{x_F} - 0;{y_F} - 2} \right) \Rightarrow 2\overrightarrow {BF}  = \left( {2{x_F};2{y_F} - 4} \right)\)

\(\overrightarrow {CF}  = \left( {{x_F} - 4;{y_F} - 5} \right) \Rightarrow  - 4\overrightarrow {CF}  = \left( { - 4{x_F} + 16; - 4{y_F} + 20} \right)\)

Vì \[\overrightarrow {AF}  + 2\overrightarrow {BF}  - 4\overrightarrow {CF}  = \overrightarrow 0  \Leftrightarrow \]\[\left\{ \begin{array}{l}\left( {{x_F} - 1} \right) + 2{x_F} + \left( { - 4{x_F} + 16} \right) = 0\\\left( {{y_F} - 3} \right) + \left( {2{y_F} - 4} \right) + \left( { - 4{y_F} + 20} \right) = 0\end{array} \right.\]

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - {x_F} + 15 = 0\\ - {y_F} + 13 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_F} = 15\\{y_F} = 13\end{array} \right.\). Vậy \(F\left( {15;13} \right)\).