Trong mặt phẳng tọa độ O x y , chọn các điểm A ( 3 ; − 1 ) , B ( − 1 ; 2 ) và I ( 1 ; − 1 ) . Xác định tọa độ các điểm C , D sao cho tứ giác ABCD là hình bình hành biết I là trọng

Vì \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên

\[{x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} \Rightarrow {x_C} = 3{x_I} - {x_A} - {x_B} = 3 \cdot 1 - 3 - \left( { - 1} \right) = 1\]

\[{y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2} \Rightarrow {y_C} = 3{y_I} - {y_A} - {y_B} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) - \left( { - 1} \right) - 2 = - 4\]

Suy ra \(C\left( {1;\, - 4} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;\,\,3} \right),\,\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;\,\, - 3} \right)\), do \(\frac{{ - 4}}{{ - 2}} \ne \frac{3}{{ - 3}}\) nên hai vectơ \(\overrightarrow {AB} ,\,\,\overrightarrow {AC} \) không cùng phương, do đó ba điểm \(A,\,\,B,\,C\) không thẳng hàng.

Khi đó, tứ giác\(ABCD\) là hình bình hành khi và chỉ khi

\(\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l} - 4 = 1 - {x_D}\\3 = - 4 - {y_D}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x_D} = 5\\{y_D} = - 7\end{array} \right. \Rightarrow D(5;\, - 7)\).

Điểm \(O\) là tâm của hình bình hành \(ABCD\) suy ra \(O\) là trung điểm \(AC\).

Do đó, \[{x_O} = \frac{{{x_A} + {x_C}}}{2} = \frac{{3 + 1}}{2} = 2,\,\,{y_O} = \frac{{{y_A} + {y_C}}}{2} = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 4} \right)}}{2} = - \frac{5}{2} \Rightarrow O\left( {2; - \frac{5}{2}} \right)\].