Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho hình vuông A B C D có A ( − 1 ; 0 ) và B ( 1 ; 2 ) . a) Lập phương trình đường thẳng B C . b) Tìm toạ độ của điểm C biết rằng hoành đ

a) Do \(ABCD\) là hình vuông nên \(AB\) và \(BC\) vuông góc với nhau tại \(B\).

Do đó, đường thẳng \(BC\) nhận vectơ \(\overrightarrow {AB}  = \left( {2;\,\,2} \right)\) làm vectơ pháp tuyến.

Chọn điểm \(B\left( {1;\,\,2} \right)\) thuộc đường thẳng \(BC\). Phương trình tổng quát của đường thẳng \(BC\) là: \(2\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0\) hay \(x + y - 3 = 0\).

Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(BC\): \(x + y - 3 = 0\).

b) Từ phương trình đường thẳng \(BC\) là \(x + y - 3 = 0\), ta có: \(y = 3 - x\).

Điểm \(C\) thuộc đường thẳng \(BC\) nên tọa độ của nó có dạng: \(\left( {t;\,\,3 - t} \right)\).

\(\overrightarrow {BC}  = \left( {t - 1;\,\,1 - t} \right)\)

\(BC = \sqrt {{{(t - 1)}^2} + {{(1 - t)}^2}} \)

\(AB = \sqrt {{2^2} + {2^2}}  = 2\sqrt 2 \)

Do \(ABCD\) là hình vuông nên ta có: \(BC = AB\)

\( \Leftrightarrow {\left( {t - 1} \right)^2} + {\left( {1 - t} \right)^2} = {\left( {2\sqrt 2 } \right)^2} \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = 3\\t =  - 1\end{array} \right.\)

Với \(t = 3\), ta có: \(C\left( {3;\,\,0} \right)\)

Với \(t =  - 1\), ta có: \(C\left( { - 1;\,4} \right)\)

Mà hoành độ của điểm \(C\) là số dương nên \(C\left( {3;\,\,0} \right)\) thỏa mãn yêu cầu đề bài.