Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho hình bình hành A B C D có A ( 2 ; − 3 ) , B ( 4 ; 5 ) và G ( 0 ; − 13 3 ) là trọng tâm tam giác A D C . Tọa độ đỉnh D là

14/24

Trong mặt phẳng tọa độ \[Oxy\], cho hình bình hành \(ABCD\) có \(A\left( {2; - 3} \right)\), \(B\left( {4;5} \right)\) và \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ADC\). Tọa độ đỉnh \(D\) là

\(D\left( {2;\,\,1} \right)\);

\(D\left( { - 1;\,\,2} \right)\);

\(D\left( { - 2;\, - 9} \right)\);

\(D\left( {2;\,\,9} \right)\).

Giải thích

Đáp án đúng là: C

Cách 1: Gọi \(D\left( {a;\;b} \right)\). Vì \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trọng tâm tam giác \(ADC\) nên

\(\overrightarrow {BD} = \frac{3}{2}\overrightarrow {BG} \Leftrightarrow \) \(\left\{ \begin{array}{l}a - 4 = \frac{3}{2} \cdot \left( {0 - 4} \right)\\b - 5 = \frac{3}{2} \cdot \left( {\frac{{ - 13}}{3} - 5} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = - 2\\b = - 9\end{array} \right.\)\( \Rightarrow D\left( { - 2;\; - 9} \right)\).

Cách 2: Gọi \(I\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) suy ra \(I\) là trung điểm \(BG\)\( \Rightarrow I\left( {2;\;\frac{1}{3}} \right)\).

Lại có \(G\left( {0; - \frac{{13}}{3}} \right)\) là trung điểm \(DI\) nên suy ra \(D\left( { - 2;\; - 9} \right)\).