Trong mặt phẳng tọa độ O x y , cho đường tròn ( C ) : ( x − 2 )^ 2 + y^ 2 = 4/ 5 và hai đường thẳng Δ 1 : x − y = 0 , Δ 2 : x − 7 y = 0 . Xác định tọa độ tâm K đường tròn ( C ′

24/24

Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}$ và hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - y = 0,{\Delta _2}:x - 7y = 0$. Xác định tọa độ tâm $K$ đường tròn $\left( {C'} \right)$ tiếp xúc với các đường thẳng ${\Delta _1},\,{\Delta _2}$ và tâm $K$ thuộc đường tròn $\left( C \right)$.

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

$Trong mặt phẳng tọa độ $Oxy$, cho đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}$ và hai đường thẳng ${\Delta _1}:x - y = 0,{\Delta _2}:x - 7y = 0$ (ảnh 1)$

Xét hệ phương trình $\left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\x - 7y = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 0\end{array} \right.$.

Do đó, ${\Delta _1} \cap {\Delta _2} = O\left( {0;0} \right)$. Gọi $A,\,\,B$ lần lượt là hai tiếp điểm của $\left( {C'} \right)$ với ${\Delta _1},{\Delta _2}.$

Ta có tam giác $OAB$ cân tại $O$ và $K$ thuộc đường phân giác của $\widehat {AOB}$.

Mặt khác, ta chứng minh được phương trình đường phân giác của $\widehat {AOB}$ là:

$\frac{{x - y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \pm \frac{{x - 7y}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 7} \right)}^2}} }} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}2x + y = 0\\x - 2y = 0\end{array} \right.$ .

Vì $K \in \left( C \right)$ nên tọa độ điểm $K$ là nghiệm của các hệ phương trình

$\left\{ \begin{array}{l}2x + y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\,$ (Vô nghiệm) và $\left\{ \begin{array}{l}x - 2y = 0\\{\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = \frac{4}{5}\end{array} \right.\,\, \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = \frac{8}{5}\\y = \frac{4}{5}\end{array} \right.$.

Vậy $K\left( {\frac{8}{5};\,\frac{4}{5}} \right).$