Trong mặt phẳng tọa độ O x y , biết rằng parabol y = x^ 2 và đường thẳng ( d )

Hoành độ giao điểm của parabol và đường thẳng \[\left( d \right)\] là nghiệm của phương trình:

\({x^2} = x - m\)

\({x^2} - x + m = 0\)

Hai đồ thị hàm số có một giao điểm là \(x = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}\) nên ta có:

\({\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2} - \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} + m = 0\)

\(m = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - {\left( {\frac{{1 - \sqrt 5 }}{2}} \right)^2}\)

\( = \frac{{1 - \sqrt 5 }}{2} - \frac{{6 - 2\sqrt 5 }}{4}\)\( = \frac{{1 - \sqrt 5  - 3 + \sqrt 5 }}{2}\)\( =  - 1\)

Với \(m =  - 1\) ta có phương trình: \({x^2} - x - 1 = 0\)

Theo định lí Viet ta có: \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} + {x_2} = 1\\{x_1}{x_2} =  - 1\end{array} \right.\)                                                      \(\left( 1 \right)\)

Theo bài ra:\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)

\(\frac{{{x_2} + {x_1}}}{{{x_1}{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}}\)                                                      \(\left( 2 \right)\)

Từ (1) và \(\left( 2 \right)\) ta có: \(\frac{1}{{ - 1}} - \frac{{2025}}{{1 - 2}} =  - 1 + 2025 = 2024\)

Vậy\(\frac{1}{{{x_1}}} + \frac{1}{{{x_2}}} - \frac{{2025}}{{{x_1} + {x_2} - 2}} = 2024\) với \(m =- 1\).