Trong mặt phẳng tọa độ, một tín hiệu âm thanh phát đi từ một vị trí và được ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận được cùng một thời điểm. Hãy xác định vị

Hướng dẫn giải

Gọi H(a; b) là vị trí tín hiệu âm thanh phát đi.

Vì ba thiết bị ghi tín hiệu đặt tại ba vị trí O(0; 0), A(1; 0), B(1; 3) nhận tín hiệu từ H phát đi tại cùng một thời điểm nên HO = HA = HB.

Ta có: \(\overrightarrow {HO} = \left( { - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HA} = \left( {1 - a; - b} \right)\), \(\overrightarrow {HC} = \left( {1 - a;3 - b} \right)\).

Do đó: \(HO = \sqrt {{{\left( { - a} \right)}^2} + \left( { - {b^2}} \right)} = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \), \(HA = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( { - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \),

\(HC = \sqrt {{{\left( {1 - a} \right)}^2} + {{\left( {3 - b} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \).

Vì HO = HA nên \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} \) \( \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2}\)

⇔ a² = a² – 2a + 1 ⇔ 2a = 1 ⇔ a = \(\frac{1}{2}\).

Vì HA = HB nên \(\sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {b^2}} = \sqrt {{{\left( {a - 1} \right)}^2} + {{\left( {b - 3} \right)}^2}} \) \( \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2} + {b^2} = {\left( {a - 1} \right)^2} + {\left( {b - 3} \right)^2}\)

⇔ b² = b² – 6b + 9 ⇔ 6b = 9 ⇔ b = \(\frac{3}{2}\).

Thay a = \(\frac{1}{2}\) và b = \(\frac{3}{2}\) vào các phương trình ta thấy đều thỏa mãn.

Vậy vị trí phát tín hiệu âm thanh là tại điểm H có tọa độ \(\left( {\frac{1}{2};\,\frac{3}{2}} \right)\).