Trong mặt phẳng tọa độ, cho hypebol có phương trình chính tắc

a) Nếu điểm M(x₀; y₀) thuộc hypebol thì ta có: x02a2−y02b2=1.

Ta có: x02a2−−y02b2=−x02a2−y02b2=−x02a2−−y02b2=x02a2−y02b2=1 nên các điểm có toạ độ (x₀; –y₀), (–x₀; y₀), (–x₀; –y₀) cũng thuộc elip.

b)

+) Gọi A là giao điểm của hypebol với trục hoành.

Vì A thuộc trục Ox nên toạ độ của A có dạng (x_A; 0)

Mà A thuộc hypebol nên xA2a2−02b2=1⇒xA2=a2⇒xA=axA=−a.

Do đó hypebol cắt trục Ox tại hai điểm A₁(–a; 0) và A₂(a; 0).

+) Giả sử hypebol cắt trục tung tại B.

Vì B thuộc trục Oy nên toạ độ của B có dạng (0; y_B).

Mà B thuộc hypebol nên 02a2−yB2b2=1⇒−yB2b2=1 (vô lí).

Vậy hypebol không cắt trục tung.

c) M(x₀; y₀) thuộc hypebol nên ta có: x02a2−y02b2=1.

Vì y02b2≥0 nên x02a2≤1⇒x02≤a2⇒|x0| ≤a.