Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng Delta đi qua giao điểm của hai đường thẳng d1:2x + y - 3 = 0 và d2:x - 2y + 1 = 0 đồng thời tạo với d3:y - 1 = 0 một góc 45 độ có phương trình là

12/35

Trong mặt phẳng Oxy, đường thẳng \(\Delta \) đi qua giao điểm của hai đường thẳng \({d_1}:2x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:x - 2y + 1 = 0\) đồng thời tạo với \({d_3}:y - 1 = 0\) một góc \(45^\circ \) có phương trình là

\(x - y = 0\) hoặc \(x + y - 2 = 0\).

\(x + 2y = 0\) hoặc \(x - 4y = 0\).

\(x + \left( {1 - \sqrt 2 } \right)y = 0\) hoặc \(x - y - 1 = 0\).

\(2x + 1 = 0\) hoặc \(y + 5 = 0\).

Giải thích

Lời giải

Tọa độ giao điểm của \({d_1}:2x + y - 3 = 0\) và \({d_2}:x - 2y + 1 = 0\) là nghiệm của hệ phương trình

\[\left\{ \begin{array}{l}2x + y - 3 = 0\\x - 2y + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 1\\y = 1\end{array} \right. \Rightarrow {d_1} \cap {d_2} = A\left( {1;1} \right) \in \Delta \].

Phương trình đường thẳng \(\Delta \) đi qua \(A\left( {1;\,1} \right)\) nên \[a\left( {x - 1} \right) + b\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow ax + by - a - b = 0\] với điều kiện \[{a^2} + {b^2} \ne 0\].

Gọi \[\overrightarrow {{n_3}} = \left( {0;1} \right)\] và \[\overrightarrow {{n_\Delta }} = \left( {a;b} \right)\] lần lượt là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_3}:y - 1 = 0\) và đường thẳng \(\Delta \).

Vì góc giữa \[{d_3}\] và \(\Delta \) bằng \(45^\circ \) nên ta có:

\[\frac{1}{{\sqrt 2 }} = \frac{{\left| b \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} \cdot \sqrt {0 + 1} }} \Leftrightarrow {a^2} + {b^2} = 2{b^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = b \Rightarrow a = b = 1 \Rightarrow \Delta :\,x + y - 2 = 0\\a = - b \Rightarrow a = 1,b = - 1 \Rightarrow \Delta :\,x - y = 0\end{array} \right.\]. Chọn A.