Trong mặt phẳng Oxy , cho tam giác ABC có A ( 2 ; 0 ) , B ( 0 ; 3 ) và C (− 3 ; 1 ) .
Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 5;1} \right)\) nên đường thẳng \(d\) có một vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow {n\,} = \left( {1;5} \right)\).
Phương trình của đường thẳng \(d\) là \(1.\left( {x - 0} \right) + 5.\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 5y - 15 = 0\).
Vậy phương trình tổng quát đường thẳng \(d\) là \(x + 5y - 15 = 0\)
Đường thẳng \(\Delta \) là trung trực của đoạn thẳng \(BC\) nhận \[\overrightarrow {CB} = \left( {3;2} \right)\] làm véc tơ pháp tuyến nên véc tơ chỉ phương của \(\Delta \) là \(\overrightarrow u = \left( {2; - 3} \right)\). Mà \(\Delta \) đi qua trung điểm \(I\left( { - \frac{3}{2};2} \right)\) của \(BC\) nên \(\Delta \) có phương trình là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).
Đường thẳng \(AB\) có véc tơ chỉ phương là \[\overrightarrow {AB} = \left( { - 2\,;\,3} \right)\] nên \(AB\) có véc tơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {3;2} \right)\) và đi qua điểm \[A\left( {2\,;\,0} \right)\] nên \(AB\) có phương trình là
\(3\left( {x - 2} \right) + 2\left( {y - 0} \right) = 0 \Leftrightarrow 3x + 2y - 6 = 0\)
Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \[C\left( {--3\,;\,1} \right)\] và nhận \(\overrightarrow {BA} = \left( {2; - 3} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến nên có phương trình là
\(2\left( {x + 3} \right) - 3\left( {y - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow 2x - 3y + 9 = 0\).
Từ đó dễ thấy đường thẳng này không đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).
a) Đúng: Phương trình của đường thẳng \(d\) đi qua \[B\] và song song với \[AC\] là \(x + 5y - 15 = 0\).
b) Đúng: Phương trình của đường trung trực đoạn thẳng \(BC\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{3}{2} + 2t\\y = 2 - 3t\end{array} \right.\) với \(t \in \mathbb{R}\).
c) Sai: Đường thẳng \(AB\) có phương trình là \(3x + 2y + 6 = 0\).
d) Sai: Đường cao ứng với đỉnh \(C\) của tam giác \(ABC\) đi qua điểm \(M\left( {2;3} \right)\).