Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ có đáy lớn $CD = 3AB$

9/11

Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ có đáy lớn $CD = 3AB$, $C\left( { - 3; - 3} \right)$, trung điểm của $AD$ là $M\left( {3;1} \right);{S_{BCD}} = 18,AB = \sqrt {10} $ và đỉnh $D$ có hoành độ nguyên dương. Giả sử điểm $B\left( {{x_B};{y_B}} \right)$. Tính $3{x_B} - {y_B}.$

Giải thích

$Trong mặt phẳng $Oxy$, cho hình thang $ABCD$ có đáy lớn $CD = 3AB$ (ảnh 1)$

Gọi \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] với ${a^2} + {b^2} \ne 0$ là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $CD$.

Khi đó đường thẳng $CD$ đi qua điểm $C\left( { - 3; - 3} \right)$ và có vectơ pháp tuyến \[\overrightarrow n = \left( {a;b} \right)\] có phương trình là

$a\left( {x + 3} \right) + b\left( {y + 3} \right) = 0 \Rightarrow ax + by + 3a + 3b = 0$.

Vì $CD = 3AB$ nên $CD = 3\sqrt {10} $. Khi đó $d\left( {A,CD} \right) = \frac{{2{S_{BCD}}}}{{CD}} = \frac{{36}}{{3\sqrt {10} }} = \frac{{12}}{{\sqrt {10} }}$.

Suy ra $d\left( {M,CD} \right) = \frac{1}{2}d\left( {A,CD} \right) = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + b + 3a + 3b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{6}{{\sqrt {10} }}$$ \Leftrightarrow \frac{{\left| {3a + 2b} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }} = \frac{3}{{\sqrt {10} }}$

$ \Leftrightarrow 10{\left( {3a + 2b} \right)^2} = 9\left( {{a^2} + {b^2}} \right)$$ \Leftrightarrow 81{a^2} + 120ab + 31{b^2} = 0$$ \Leftrightarrow a = - \frac{1}{3}b$ hoặc $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

TH1: $a = - \frac{1}{3}b$.

Chọn $b = - 3$ thì $a = 1$. Khi đó phương trình đường thẳng $CD:x - 3y - 6 = 0 \Rightarrow D\left( {3d + 6;d} \right)$.

Ta có $C{D^2} = 90$$ \Leftrightarrow {\left( {3d + 9} \right)^2} + {\left( {d + 3} \right)^2} = 90 \Leftrightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = 9$$ \Leftrightarrow d = 0$ hoặc $d = - 6$.

Suy ra $D\left( {6;0} \right)$ (thỏa mãn) hay $D\left( { - 12; - 6} \right)$ (loại).

Vậy $D\left( {6;0} \right) \Rightarrow A\left( {0;2} \right)$.

Ta có $\overrightarrow {AB} = \frac{1}{3}\overrightarrow {DC} = \left( { - 3; - 1} \right)$$ \Rightarrow B\left( { - 3;1} \right)$.

TH2: $a = - \frac{{31}}{{27}}b$.

Chọn $b = - 27 \Rightarrow a = 31$. Khi đó $CD:31x - 27y + 12 = 0$$ \Rightarrow D\left( {d;\frac{{31d + 12}}{{27}}} \right)$.

Suy ra $C{D^2} = {\left( {d + 3} \right)^2} + {\left( {\frac{{31d + 93}}{{27}}} \right)^2} = 90$$ \Rightarrow {\left( {d + 3} \right)^2} = \frac{{6561}}{{169}}$ (loại).

Vậy $B\left( { - 3;1} \right)$$ \Rightarrow 3a - b = - 10$.

Đề kiểm tra Toán 10 Chân trời sáng tạo Chương 9 có đáp án (Đề 1)

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho hình thang \(ABCD\) có đáy lớn \(CD = 3AB\)