Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng d1:x = 2 + at; y = 1 - 2t và d2:3x + 4y + 12 = 0. Xác định giá trị của a để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng 45 độ

14/35

Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường thẳng \({d_1}\):\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 2 + at}\\{y = 1 - 2t}\end{array}} \right.\) và \({d_2}\):\(3x + 4y + 12 = 0\). Xác định giá trị của \(a\) để góc tạo bởi hai đường thẳng trên bằng \(45^\circ \).

\(a = \frac{2}{7};a = - 14\).

\(a = \frac{2}{7};a = 14\).

\(a = 1;a = - 14\).

\(a = - 2;a = - 14\).

Giải thích

Lời giải

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_1}\) là \({\overrightarrow n _{{d_1}}} = \left( {2;a} \right).\)

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng \({d_2}\) là \({\overrightarrow n _{{d_2}}} = \left( {3;4} \right).\)

Ta có \[\left( {{d_1},{d_2}} \right) = 45^\circ \Leftrightarrow \left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}},{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right)} \right| = \cos 45^\circ \]\[ \Leftrightarrow \frac{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}} \cdot {{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}}{{\left| {{{\overrightarrow n }_{{d_1}}}} \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow n }_{{d_2}}}} \right|}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4a + 6} \right|}}{{5\sqrt {4 + {a^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\)\( \Leftrightarrow 2\left| {4a + 6} \right| = 5\sqrt 2 \cdot \sqrt {{a^2} + 4} \)\( \Leftrightarrow 7{a^2} + 96a - 28 = 0\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = \frac{2}{7}\\a = - 14\end{array} \right..\)Chọn A.