Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = mx + 4 và parabol (P): y = x2. Có tất cả bao nhiêu giá trị của m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2 thỏa

Đáp án: 1

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P): x² = mx + 4 nên x² – mx – 4 = 0 (1).

Vì 1(–4) = –4 < 0 nên phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt trái dấu.

Suy ra đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Theo định lý Viète ta có: x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –4.

\(\frac{1}{{{{\rm{x}}_1} + 1}} + \frac{1}{{{{\rm{x}}_2} + 1}} = 2\) (điều kiện: x₁ + 1 ≠ 0 và x₂ + 1 ≠ 0) 4 – 2 căm 5; 4 + 2 căn 5

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + 1 + {{\rm{x}}_1} + 1}}{{\left( {{{\rm{x}}_1} + 1} \right)\left( {{{\rm{x}}_2} + 1} \right)}} = 2\)

\(\frac{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} + 2}}{{{{\rm{x}}_2} + {{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2}{{\rm{x}}_1} + 1}} = 2\;\,\left( 2 \right)\)

Thay x₁ + x₂ = m; x₁x₂ = –4 vào (2) ta có:

\(\frac{{{\rm{m}} + 2}}{{{\rm{m}} - 4 + 1}} = 2\)

m + 2 = 2(m – 3) (điều kiện: m ≠ 3)

m + 2 = 2m – 6

m = 8 (thỏa mãn).

Vậy có 1 giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.