Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng (d): y = 2x – m2 và parabol (P): y = mx2 (m > 0). Đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ x1, x2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biể

Đáp án: 4

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (P):

mx² = 2x – m² nên mx² – 2x + m² = 0 (1).

Ta có: \(\Delta\)’ = (–1)² – m³ = 1 – m³.

Để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại 2 điểm phân biệt thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt x₁, x₂.Suy ra \(\Delta\)’ = 1 – m³ > 0 nên 0 < m < 1(do m > 0).

Theo định lý Viète ta có: \({{\rm{x}}_1} + {{\rm{x}}_2} = \frac{{\rm{2}}}{{\rm{m}}};\;\,{{\rm{x}}_{\rm{1}}}{{\rm{x}}_{\rm{2}}} = \frac{{{{\rm{m}}^2}}}{{\rm{m}}} = {\rm{m}}\).

Do đó, \({\rm{A}} = \frac{8}{{\frac{2}{{\rm{m}}}}} + \frac{1}{{\rm{m}}} = 4{\rm{m}} + \frac{1}{{\rm{m}}}.\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương 4m và \(\frac{1}{{\rm{m}}}\) ta có:

\({\rm{A}} = 4{\rm{m}} + \frac{1}{{\rm{m}}} \ge 2\sqrt {4{\rm{m}} \cdot \frac{1}{{\rm{m}}}} = 4.\)

Dấu “=” xảy ra khi \(4{\rm{m}} = \frac{1}{{\rm{m}}}\) nên 4m² = 1 nên \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\) (do 0 < m < 1).

Vậy giá trị nhỏ nhất của A bằng 4 khi \({\rm{m}} = \frac{1}{2}\).