Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình

4/22

Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng \(d\) có phương trình \(\frac{{x + 2}}{1} = \frac{{y - 3}}{4}\) và hai điểm \(M\left( { - 2;3} \right),\,{\kern 1pt} {\kern 1pt} N\left( {4; - 1} \right)\). Đường thẳng \(\Delta \) vuông góc \(d\) và khoảng cách từ \(M\) đến \(\Delta \) gấp 2 lần khoảng cách từ \(N\) đến \(\Delta \). Phương trình đường thẳng \(\Delta \) dạng \(a{\kern 1pt} x + \,b{\kern 1pt} y + c = \,0\) với \(\,a{\kern 1pt} {\kern 1pt} \),\({\kern 1pt} b{\kern 1pt} \) và \(c{\kern 1pt} {\kern 1pt} \) là các số thực dương. Tính \(P{\kern 1pt} {\kern 1pt} = {\kern 1pt} \,a{\kern 1pt} {\kern 1pt} .{\kern 1pt} {\kern 1pt} b{\kern 1pt} {\kern 1pt} .{\kern 1pt} c\).

\(20\).

\(10\).

\(30\).

\(40\).

Giải thích

Vì \(\Delta \) vuông góc \(d\) nên đường thẳng \(\Delta \) có dạng: \(x + 4y + c = 0\).

Theo giả thiết ta có: \(d\left( {M,\;\Delta } \right) = 2d\left( {N,\;\Delta } \right)\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| { - 2 + 4.3 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }} = 2.\frac{{\left| {4 - 4.1 + c} \right|}}{{\sqrt {17} }}\)\( \Leftrightarrow \left| {c + 10} \right| = 2\left| c \right|\)\[ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 10\\c = \;\frac{{ - 10}}{3}\;\;\left( {loa\"i i} \right)\end{array} \right.\]

Phương trình đường thẳng \(\Delta \)cần tìm là: \(x + 4y + 10 = 0\).

Ta được \(a = 1;\,\;b = 4;\,\;c = 10\). Do đó \(P = 1.4.10 = 40\).