Trong mặt phẳng \(Oxy\), cho đường thẳng

2/6

Trong mặt phẳng\(Oxy\), cho đường thẳng\(\left( d \right):y = 2mx - 4m + 5\) (\(m\) là tham số) và parabol\(\left( P \right):y = {x^2}\). Tìm tất cả giá trị của\(m\) để\(\left( d \right)\) cắt\(\left( P \right)\) tại hai điểm phân biệt\(A,B\) sao cho ba điểm\(O,A,B\) tạo thành tam giác vuông tại\(O\).

Nhập câu trả lời ở đây

0/3000 ký tự

Giải thích

Ta có phương trình hoành độ giao điểm của\(\left( P \right)\)và\(\left( d \right)\):

\({x^2} = 2mx - 4m + 5\)

\( \Rightarrow {x^2} - 2mx + 4m - 5 = 0\)

\({\rm{\Delta }} = 4{m^2} - 16m + 20 > 0\left( {\forall m} \right)\)

\( \Rightarrow \)Phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{{x_A} = \frac{{2m + \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_A} = {{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\\{{x_B} = \frac{{2m - \sqrt {4{m^2} - 16m + 20} }}{2} = m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} \Rightarrow {y_B} = {{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)}^2}}\end{array}} \right.\)

\({\rm{\Delta }}AOB\) vuông tại\(O\)

\( \Rightarrow O{A^2} + O{B^2} = A{B^2}\) (Định lý Pythagoras)

\( \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = {\left( {{x_A} - {x_B}} \right)^2} + {\left( {{y_A} - {y_B}} \right)^2}\)

\( \Leftrightarrow x_A^2 + y_A^2 + x_B^2 + y_B^2 = x_A^2 - 2{x_A}{x_B} + x_B^2 + y_A^2 - 2{y_A}{y_B} + y_B^2\)

\( \Leftrightarrow {x_A}{x_B} + {y_A}{y_B} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) + {\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2}{\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)^2} = 0\)

\( \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0}\\{\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1}\end{array}} \right.\)

Giải\(\left( 1 \right)\):

\(\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = 0\)

\( \Leftrightarrow 4m - 5 = 0\)

\( \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\) (loại vì khi\(m = \frac{5}{4}\) thì sẽ nhận được\({x_B} = 0\)và\({y_B} = 0\), điểm\(B\) trùng với điểm\(O\) không tạo được tam giác)

Giải\(\left( 2 \right)\):

\(\left( {m + \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right)\left( {m - \sqrt {{m^2} - 4m + 5} } \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow {m^2} - \left( {{m^2} - 4m + 5} \right) = - 1\)

\( \Leftrightarrow 4m - 5 = - 1\)

\( \Leftrightarrow m = 1{\rm{\;}}\)(nhận)

vậy\(m = 1\)