Trong mặt phẳng Oxy cho: * Đồ thị (C) của hàm số y = 3/4 |x|. * Đường tròn (C1) có tâm I1 bán kính 1 tiếp xúc với (C) tại A và tiếp xúc với tia Ox.
22/22
Trong mặt phẳng \(Oxy\) cho:
- Đồ thị \(\left( C \right)\) của hàm số \(y = \frac{3}{4}\left| x \right|\).
- Đường tròn \(\left( {{C_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\) bán kính 1 tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \(A\) và tiếp xúc với tia \(Ox\).
- Đường tròn \(\left( {{C_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\) bán kính 1 tiếp xúc với \(\left( C \right)\) tại \[B\] và tiếp xúc với tia \(Ox'\).
- Parabol \(\left( P \right)\) có đỉnh là \(O\), qua \({I_1}\) và \({I_2}\).
(tham khảo hình vẽ dưới đây)
Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi \(\left( C \right)\), \(\left( P \right)\) và các đường thẳng \({I_1}A,\,\,{I_2}B\).
Đáp án: 4.
Ta xét phần hình phẳng nằm bên phải trục tung như sau:
Gọi \({I_1}\left( {m;1} \right)\) với \(a > 0\) và \(\Delta :y = \frac{3}{4}x \Leftrightarrow 3x - 4y = 0\) là phần đồ thị bên phải trục tung của \(\left( C \right)\).
Do đường tròn \(\Delta \) tiếp xúc với \(\left( {{C_1}} \right)\) nên ta có: \(d\left( {I,\Delta } \right) = R \Leftrightarrow \frac{{\left| {3m - 4} \right|}}{{\sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = 1 \Rightarrow m = 3\).
Do đó \({I_1}\left( {3;1} \right)\).
Gọi \(\left( P \right):y = a{x^2}\). Do \({I_1}\left( {3;1} \right) \in \left( P \right)\) nên suy ra \(\left( P \right):y = \frac{1}{9}{x^2}\).
Ta cũng viết được phương trình đường thẳng \(O{I_1}:y = \frac{1}{3}x\).
Gọi \(H\) là hình chiếu vuông góc của \({I_1}\) lên \(Ox \Rightarrow H\left( {3;0} \right)\).
Ta có: \(O{I_1} = \sqrt {10} \Rightarrow OA = \sqrt {{{\left( {\sqrt {10} } \right)}^2} - {1^2}} = 3\).
Vậy diện tích hình phẳng cần tìm là:
\[S = 2\left( {{S_{\Delta OA{I_1}}} + \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}{x^2}} \right){\rm{d}}x} } \right) = 2\left( {\frac{1}{2}.3.1 + \int\limits_0^3 {\left( {\frac{1}{3}x - \frac{1}{9}{x^2}} \right){\rm{d}}x} } \right) = 4\].