Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M nằm trên đường tròn (C):x^2 + y^2 + 8x - 6y + 16 = 0. Độ dài nhỏ nhất của OM là

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( { - 4;3} \right)\), bán kính \(R = 3\).

Ta có \(\overrightarrow {OI}  = \left( { - 4;3} \right)\) suy ra phương trình đường thẳng \(OI\) là \(\left\{ \begin{array}{l}x =  - 4t\\y = 3t\end{array} \right.\).

Gọi \(OI \cap \left( C \right) = \left\{ M \right\}\).  Khi đó \(M\left( { - 4t;3t} \right)\).

Vì \(M \in \left( C \right)\) nên ta có: \({\left( { - 4t} \right)^2} + {\left( {3t} \right)^2} + 8.\left( { - 4t} \right) - 6.\left( {3t} \right) + 16 = 0\)

\[ \Leftrightarrow 25{t^2} - 50t + 16 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t = \frac{8}{5}\\t = \frac{2}{5}\end{array} \right.\]

Với \(t = \frac{8}{5} \Rightarrow {M_1}\left( { - \frac{{32}}{5};\frac{{24}}{5}} \right)\).

Với \(t = \frac{2}{5} \Rightarrow {M_2}\left( { - \frac{8}{5};\frac{6}{5}} \right)\).

Ta có \(O{M_1} = \sqrt {{{\left( { - \frac{{32}}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{{24}}{5}} \right)}^2}}  = 8,O{M_2} = \sqrt {{{\left( { - \frac{8}{5}} \right)}^2} + {{\left( {\frac{6}{5}} \right)}^2}}  = 2\).

Vì vậy độ dài nhỏ nhất của \(OM\) là \(O{M_{\min }} = O{M_2} = 2\).