Trong mặt phẳng Oxy,cho ba điểm A(3; - 1),B(1;5),C(- 3;2). a) Chứng minh rằng A,B,C là ba đỉnh của một tam giác. b) Tìm toạ độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải

a) Ta có \(\overrightarrow {AB}  = \left( { - 2;6} \right)\) ; \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;3} \right)\) không cùng phương.

Suy ra \(A,\)\(B,\)\(C\) là ba đỉnh của một tam giác.

b) Gọi \(H\left( {x;y} \right)\) là trực tâm của tam giác ABC.

Ta có: \(\overrightarrow {AH}  = \left( {x - 3;y + 1} \right)\); \(\overrightarrow {BC}  = \left( { - 4; - 3} \right)\)

           \(\overrightarrow {BH}  = \left( {x - 1;y - 5} \right)\); \(\overrightarrow {AC}  = \left( { - 6;3} \right)\)

Do H là trực tâm của tam giác ABC nên: \(\left\{ \begin{array}{l} - 4\left( {x - 3} \right) - 3\left( {y + 1} \right) = 0\\ - 6\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 5} \right) = 0\end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = 0\\y = 3\end{array} \right.\) . Vậy \(H\left( {0;3} \right)\).