Trong mặt phẳng O x y , cho đường tròn ( C ) : x 2 + y 2 − 8 x − 6 y = 0 và đường thẳng Δ : x − 2 y + 1 = 0 . Khi đó a) Đường tròn ( C ) có tâm I ( 4 ; 3 ) ; R = 5 .

Hướng dẫn giải

a) Đ, b) S, c) Đ, d) Đ

a) \({x^2} + {y^2} - 8x - 6y = 0\)\( \Leftrightarrow {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {y - 3} \right)^2} = 25\).

Suy ra đường tròn \(\left( C \right)\) có tâm \(I\left( {4;3} \right);R = 5\).

b) Thay tọa độ điểm \(M\) vào phương trình đường thẳng \(\Delta :x - 2y + 1 = 0\) ta được:

\(1 - 2.1 + 1 = 0\) (đúng). Do đó \(M\left( {1;1} \right) \in \Delta \).

c) Đường thẳng \(\Delta \) có một vectơ pháp tuyến là \[\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 2} \right) = - \left( { - 1;2} \right) = - \overrightarrow n \].

Suy ra \(\overrightarrow n \) cũng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng \(\Delta \).

Mà \(d//\Delta \) nên \(\overrightarrow n \) là một vectơ pháp tuyến của \(d\).

d) Vì tiếp tuyến \(\Delta '\) của \(\left( C \right)\) song song với \(\Delta \) nên \(\Delta '\) có dạng \(x - 2y + c = 0\left( {c \ne 1} \right)\).

Vì \(d\left( {I,\Delta '} \right) = R\)\( \Leftrightarrow \frac{{\left| {4 - 2.3 + c} \right|}}{{\sqrt {{1^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} }} = 5\)\( \Leftrightarrow \left| { - 2 + c} \right| = 5\sqrt 5 \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2 + c = 5\sqrt 5 \\ - 2 + c = - 5\sqrt 5 \end{array} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}c = 5\sqrt 5 + 2\\c = - 5\sqrt 5 + 2\end{array} \right.\) (thoảm mãn).

Vậy có hai đường thẳng tiếp tuyến của đường tròn \(\left( C \right)\) mà song song với \(\Delta \).