Trong mặt phẳng cho 9 điểm có tọa độ nguyên, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi trong số các tam giác được tạo thành từ 3 trong 9 điểm đó có ít nhất [...] tam giác có diện tích nguy

Đáp án: 19

Phương pháp giải.

Sử dụng Nguyên lý Dirichlet.

Lời giải chi tiết.

Tam giác ABC có tọa độ các đỉnh \(A({x_A};{y_A})\), \(B({x_B};{y_B})\), \(C({x_C};{y_C})\) thì diện tích là :

\({S_{ABC}} = \frac{1}{2}|({x_C} - {x_A})({y_B} - {y_A}) - ({x_B} - {x_A})({y_C} - {y_A})|\).

Ta xét 9 điểm có tọa độ nguyên, tọa độ mỗi điểm thuộc một trong các dạng tính chẵn lẻ sau. (chẵn; chẵn), (lẻ; lẻ), (lẻ; chẵn), (chẵn; lẻ).

Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại ít nhất \(\left[ {\frac{{9 - 1}}{4}} \right] + 1 = 3\) điểm thuộc cùng một dạng. Giả sử đó là A, B, C.

Với hai điểm A, B có tọa độ cùng tính chẵn lẻ thì \({y_B} - {y_A}\) và \({x_B} - {x_A}\) đều là số chẵn nên diện tích tam giác có cạnh AB kết hợp với bất kỳ điểm nào cũng đều nguyên. Tương tự với cạnh AC, BC.

Với 3 đoạn thẳng AB, BC, CA, mỗi đoạn kết hợp với 6 điểm còn lại thì được \(3 \cdot 6 = 18\) tam giác có diện tích nguyên.

Cộng thêm tam giác ABC (đã tính riêng vì 3 đỉnh cùng tính chẵn lẻ).

Vậy có ít nhất \(18 + 1 = 19\) tam giác.