Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng (P): 2x+2y-z-3=0 và mặt cầu

21/23

Trong không gian Oxyz, cho điểm E(2;1;3), mặt phẳng P:2x+2y−z−3=0 và mặt cầu S:x−32+y−22+z−52=36. Gọi Δ là đường thẳng đi qua E, nằm trong (P) và cắt (S) tại hai điểm có khoảng cách nhỏ nhất. Phương trình của Δ là:

x=2+9ty=1+9tz=3+8t

x=2−5ty=1+3tz=3

x=2+ty=1−tz=3

x=2+4ty=1+3tz=3−3t

Giải thích

Dễ thấy E∈P.Gọi I(3;2;5) là tâm khối cầu.

Đường thẳng qua I vuông góc với (P): x=3+2ty=2+2tz=5−td

Gọi H là hình chiếu của I lên (P) ⇒H∈d⇒H3+2t;2+2t;5−t

Lại có H∈P

⇒23+2t+22+2t−5+t−3=0⇔6+4t+4+4t−5+t−3=0⇔9t+2=0⇔t=−29⇒H239;149;479⇒EH→59;59;209=591; 1; 4//1;1;4=a→

Để đường thẳng Δcắt mặt cầu (S) tại 2 điểm sao cho chúng có khoảng cách nhỏ nhất thì đường thẳng Δđi qua E và vuông góc với HE.

Ta có:

uΔ→⊥nP→uΔ→⊥a→⇒uΔ→=nP→;a→

=2−114;−1241;2211=(9;−9;0)=9(1;−1;0)

Vậy đường thẳng Δđi qua E và nhận (1;−1;0) là 1 VTCP.

Vậy phương trình đường thẳng Δ: x=2+ty=1−tz=3

Đáp án cần chọn là: C