Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho mặt phẳng (P): −x + 2y + 2z − 3 = 0, mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 − 10x − 4y − 6z + 2 = 0. Gọi Δ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (P)

86/97

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \[Oxyz,\]cho mặt phẳng $(P): - x + 2y + 2z - 3 = 0$, mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} - 10x - 4y - 6z + 2 = 0$. Gọi $\Delta $ là đường thẳng nằm trong mặt phẳng $(P)$, đi qua $A(3;1;2)$ và cắt $(S)$ tại $2$ điểm \[M,{\rm{ }}N.\] Độ dài đoạn thẳng \[MN\] nhỏ nhất là

$\frac{{\sqrt {30} }}{2}$.

$2\sqrt {30} $.

$\frac{{3\sqrt {30} }}{2}$.

$\sqrt {30} $.

Giải thích

Giải chi tiết:

$a) Kẻ $AH \bot SB$ ($H \in SB$) Ta có: \(\left\{ {\begin{array}{*{2 (ảnh 1)$

Mặt cầu \[\left( S \right)\] có tâm $I(5;2;3)$, bán kính $R = \sqrt {{5^2} + {2^2} + {3^2} - 2} = 6$.

Mặt phẳng \[\left( P \right)\] có $\overrightarrow {{n_{(P)}}} = ( - 1;2;2)$.

Ta có: $d(I,(P)) = \frac{{| - 5 + 2.2 + 2.3 - 3|}}{{\sqrt {{{( - 1)}^2} + {2^2} + {2^2}} }} = \frac{2}{3} < R \Rightarrow $ Mặt phẳng \[\left( P \right)\] cắt mặt cầu \[\left( S \right)\].

$IA = \sqrt {{{(3 - 5)}^2} + {{(1 - 2)}^2} + {{(2 - 3)}^2}} = \sqrt 6 < R \Rightarrow $ Điểm $A$ nằm trong mặt cầu.

Gọi $H$ là trung điểm của \[MN.\]Khi đó $IH$ vuông góc với \[MN.\]

$ \Rightarrow MN = 2HN = 2\sqrt {I{N^2} - I{H^2}} = 2\sqrt {36 - I{H^2}} $

Do đó $MN$min $ \Leftrightarrow $ $IH$ max

Vì tam giác \[IAH\]vuông tại $H$$ \Rightarrow IH \le IA$

$ \Rightarrow $$MN$ min $ \Leftrightarrow IH = IA = \sqrt 6 \Rightarrow MN = 2\sqrt {36 - 6} = 2\sqrt {30} $.

Đáp án cần chọn là: B