Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho đường thẳng d: x/1 = (y + 1)/2 = (z − 2)/(−1) và mặt phẳng (P): x + y + z − 3 = 0. Phương trình đường thẳng d′ đối xứng với d qua (P) l

91/97

Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc \[Oxyz,\] cho đường thẳng $d:\frac{x}{1} = \frac{{y + 1}}{2} = \frac{{z - 2}}{{ - 1}}$ và mặt phẳng $(P):x + y + z - 3 = 0$. Phương trình đường thẳng \[d'\] đối xứng với $d$ qua $(P)$ là

$\frac{{x - 1}}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{{z - 1}}{1}$.

$\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{7}$.

$\frac{{x + 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{1} = \frac{{z - 1}}{{ - 1}}$.

$\frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{{ - 1}} = \frac{z}{1}$.

Giải thích

Giải chi tiết:

$Bước $1:$ Lấy điểm $B(0; - 1;2)$ thuộc $d.$ (ảnh 1)$

Bước $1:$ Lấy điểm $B(0; - 1;2)$ thuộc $d.$

Bước $2:$ Tìm giao điểm $A$ của $d$ và \[\left( P \right).\]

Gọi $A$ là giao điểm của $d$ và \[\left( P \right).\]

Khi đó $A(t; - 1 + 2t;2 - t)$. Thay vào \[\left( P \right)\] ta được:

$t - 1 + 2t + 2 - t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = 1 \Rightarrow A(1;1;1)$

Bước 3: Tìm \[d'\]

Gọi $H$ là hình chiếu của $B$ lên \[\left( P \right)\], $B'$ là điểm đối xứng $B$ qua \[\left( P \right).\]

Khi đó $H$ là trung điểm của \[BB'\]

Đường thẳng $BH$ đi qua \[B\left( {0; - 1;2} \right)\] và nhận ${\vec n_{(P)}} = (1;1;1)$ làm vectơ chỉ phương có phương trình là: $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = t}\\{y = - 1 + t}\\{z = 2 + t}\end{array}} \right.$

$ \Rightarrow H(t; - 1 + t;2 + t)$. Thay vào \[\left( P \right)\] ta được:

$t - 1 + t + 2 + t - 3 = 0 \Leftrightarrow t = \frac{2}{3}$

$ \Rightarrow H\left( {\frac{2}{3}; - \frac{1}{3};\frac{8}{3}} \right) \Rightarrow B'\left( {\frac{4}{3};\frac{1}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$

Vectơ chỉ phương của \[AB'\] là: $\overrightarrow {AB'} = \left( {\frac{1}{3}; - \frac{2}{3};\frac{7}{3}} \right)$

Đường thẳng $d':\frac{{x - 1}}{1} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} = \frac{{z - 1}}{7}$

Đáp án cần chọn là: B