Trong không gian với hệ trục tọa độ vuông góc Oxyz, cho 4 điểm: A(1; 5; 4), B(−3; 1; 4), C(5; 4; 1), D(−2; 1; −3). Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD bằng gì?

Giải chi tiết:

Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB,{\rm{ }}BC,{\rm{ }}CD.\]

Ta có: \(\overrightarrow {AB} = ( - 4; - 4;0);\overrightarrow {BC} = (8;3; - 3);\overrightarrow {CD} = ( - 7; - 3; - 4)\)

Trung điểm của \[AB\] là: \(M( - 1;3;4)\)

Trung điểm của \(BC\) là: \(N\left( {1;\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)\)

Trung điểm của \(CD\) là: \(P\left( {\frac{3}{2};\frac{5}{2}; - 1} \right)\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \[AB\]: \((x + 1) + (y - 3) = 0 \Leftrightarrow x + y - 2 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(BC\):

\(8(x - 1) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) - 3\left( {z - \frac{5}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow 8x + 3y - 3z - 8 = 0\)

Phương trình mặt phẳng trung trực của \(CD\):

\(7\left( {x - \frac{3}{2}} \right) + 3\left( {y - \frac{5}{2}} \right) + 4(z + 1) = 0 \Leftrightarrow 7x + 3y + 4z - 14 = 0\)

Bước 2: Khi đó giao điểm \(I\) của \(3\) mặt phẳng là tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD,\]tìm bán kính \[IA.\]

Gọi \(I\) là giao điểm của \(3\) mặt phẳng trung trực vừa tìm được

Khi đó ta có tọa độ của \(I\) thỏa mãn hệ

\(\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x + y - 2 = 0}\\{8x + 3y - 3z - 8 = 0}\\{7x + 3y + 4z - 14 = 0}\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 1}\\{y = 1}\\{z = 1}\end{array}} \right.\)

\( \Rightarrow I(1;1;1) \Rightarrow IA = \sqrt {{0^2} + {4^2} + {3^2}} = 5\)

Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện \[ABCD\] bằng \(5.\)

Đáp án cần chọn là: B