Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz với đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu (x − 2)^2 + (y + 1)^2 + (z + 1)^2 = 6. Quả bóng n
15/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\)với đơn vị trên mỗi trục là dm, mặt ngoài của một quả bóng được mô hình hóa bởi phương trình mặt cầu \({\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {\left( {z + 1} \right)^2} = 6\). Quả bóng nằm yên trên sàn nhà. Người ta nhìn thấy một tấm ván ngã xuống đè lên quả bóng, phần giao của tấm ván và sàn nhà là đường thẳng \(d:\,\left\{ \begin{array}{l}x = - 2 + 2t\\y = - 1 - 3t\\z = t\end{array} \right.\). Gọi \(A,\,\,B\) lần lượt là hai tiếp điểm của tấm ván, sàn nhà với quả bóng và \(I\) là tâm quả bóng
Quả bóng có tâm \(I\left( {2\,;\, - 1\,;\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \)
Khoảng cách từ tâm quả bóng đến đường thẳng \(d\) bằng \(2\sqrt 6 \)
Nếu \({\rm{cos}}\widehat {AIB} = \frac{a}{b}\) (với \(\frac{a}{b}\) phân số tối giản và \(a,\,b \in \mathbb{Z}\)) thì giá trị biểu thức \({a^2} + {b^2} = 82\)
Một con kiến bò từ vị trí \(A\) đến vị trí \(B\) trên quả bóng với tốc độ \(2\)(cm/s) thì thời gian ngắn nhất cho chuyến đi này là \(21\) giây (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị)
Xét mệnh đề a)
Mặt ngoài quả bóng là mặt cầu \(\left( S \right)\) có tâm \(I\left( {2\,;\,\, - 1\,;\,\, - 1} \right)\) và bán kính \(R = \sqrt 6 \) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Đường thẳng d: \(\frac{{x + 2}}{2} = \frac{{y + 1}}{{ - 3}} = \frac{z}{1}\) qua \(A\left( { - 2\,;\,\, - 1\,;\,\,0} \right)\) và có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = \left( {2\,;\,\, - 3\,;\,\,1} \right)\).
Ta có: \(\overrightarrow {AI} = \left( {4\,;\,\,0\,;\,\, - 1} \right)\,;\,\,\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right] = \left( {3\,;\,\,6\,;\,\,12} \right)\).
Do đó \(d\left( {I\,,\,\,d} \right) = \frac{{\left| {\left[ {{{\vec u}_d}\,,\,\,\overrightarrow {AI} } \right]} \right|}}{{\left| {{{\vec u}_d}} \right|}} = \frac{{\sqrt {{3^2} + {6^2} + {{12}^2}} }}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 3} \right)}^2} + {1^2}} }} = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Gọi \(K\) là hình chiếu của \(I\) trên \(d\) thì \(KI = \frac{{3\sqrt 6 }}{2}\) và \(KA \bot IA\) suy ra \[{\rm{cos}}\widehat {AIK} = \frac{{IA}}{{IK}} = \frac{2}{3}.\]
Do vậy \[{\rm{cos}}\widehat {AIB} = 2{\rm{co}}{{\rm{s}}^2}\widehat {AIK} - 1\]\( = 2.{\left( {\frac{2}{3}} \right)^2} - 1 = - \frac{1}{9} = \frac{a}{b} \Rightarrow {a^2} + {b^2} = 82\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Độ dài cung tròn bé nhất mà con kiến có thể đi: (dm)
Thời gian tối thiểu để kiến đến nơi là giây nên mệnh đề d) sai