Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz và đơn vị trên mỗi hệ trục là 1 mét, một đường đi của phân tử electron được mô hình hóa bởi điểm đầu và điểm cuối lần lượt là điểm A(4;3;0) và B(−1;0;
21/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) và đơn vị trên mỗi hệ trục là 1 mét, một đường đi của phân tử electron được mô hình hóa bởi điểm đầu và điểm cuối lần lượt là điểm \(A\left( {4;3;0} \right)\) và \(B\left( { - 1;0;6} \right)\). Biết rằng có hai màng plasma lần lượt là mặt phẳng \(\left( P \right):x + 2y - 2z - 7 = 0\) và \(\left( {Q} \right):x + 2y - 2z + 5 = 0\) và electron cần phải đi qua hai màng \(\left( P \right)\) và \(\left( {Q} \right)\) lần lượt tại \(M\) và \(N\) sao cho tọa độ hai điểm thỏa mãn \({x_M} - {x_N} = 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) = 4\left( {{z_M} - {z_N}} \right)\). Với quỹ đạo khép kín \(AM \to MN \to NB\) thì khi đó tổng quãng đường đi ngắn nhất của electron bằng bao nhiêu mét (Kết quả làm tròn đến hàng phần mười)
Từ giả thiết của đề bài: \(\frac{{{x_M} - {x_N}}}{4} = \frac{{{y_M} - {y_N}}}{2} = \frac{{{z_M} - {z_N}}}{1} = k\)\( \Rightarrow \overrightarrow {NM} = \left( {4k;2k;k} \right)\).
Vì \(M \in \left( P \right)\) và \(N \in \left( Q \right)\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}{x_M} + 2{y_M} - 2{z_M} - 7 = 0\,\,\,\,\,\left( 1 \right)\\{x_N} + 2{y_N} - 2{z_N} + 5 = 0\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array} \right.\)
Lấy \(\left( 1 \right) - \left( 2 \right)\) ta được: \(\left( {{x_M} - {x_N}} \right) + 2\left( {{y_M} - {y_N}} \right) - 2\left( {{z_M} - {z_N}} \right) - 12 = 0\)
Thay tọa độ của vectơ \(\overrightarrow {NM} \) ta có: \(4k + 2\left( {2k} \right) - 2\left( k \right) - 12 = 0\)\( \Leftrightarrow 6k = 12 \Leftrightarrow k = 2\)
Vậy \(\overrightarrow {NM} = \left( {8;4;2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {MN} = \left( { - 8;\, - 4;\, - 2} \right)\)nên \(MN = \sqrt {{{\left( { - 8} \right)}^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {84} = 2\sqrt {21} \).
Tổng quãng đường electron cần đi là: \(S = AM + MN + NB\).
Vì \(MN = 2\sqrt {21} \) là một hằng số không đổi nên để quãng đường \(S\) ngắn nhất ta chỉ cần tìm giá trị nhỏ nhất của tổng \(AM + NB\).
Chọn một điểm \(A'\) sao cho \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) thì \(A' = A + \overrightarrow {MN} = \left( {4 - 8;3 - 4;0 - 2} \right) \Rightarrow A' = \left( { - 4;\, - 1;\, - 2} \right)\)
Vì \(\overrightarrow {AA'} = \overrightarrow {MN} \) nên tứ giác \(AA'NM\)là một hình bình hành.
Tính chất hình bình hành cho ta độ dài \(AM = A'N\).
Thay tọa độ \(A'\) và \(B\) vào mặt phẳng \(\left( Q \right)\) thì ta thấy hai điểm này nằm khác phía nhau
Lúc này, tổng cần tìm cực trị trở thành: \(AM + NB = A'N + NB \ge A'B = \sqrt {74} \).
Vậy tổng quãng đường ngắn nhất của electron là:
\({S_{\min }} = A'B + MN = \sqrt {74} + 2\sqrt {21} = 17,767 \approx 17,8{\rm{(m)}}\)