Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz

42/50

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz cho ba điểm A2;3;1,B−1;2;0,C1;1;−2. Gọi I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tính giá trị biểu thức P=15a+30b+75c.

Giải thích

Chọn B.

Ta có AB→=−3;−1;−1AC→=−1;−2;−3⇒n→=AB→;AC→=1;−8;5.

Phương trình (ABC) đi qua B và có véc tơ pháp tuyến n→ là: 1.x+1−8.y−2+5.z−0=0⇔x−8y+5z=−17 1.

Gọi M là trung điểm của AB thì M12;52;12. Khi đó mặt phẳng trung trực của AB đi qua M và nhận BA→=3;1;1 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: 3.x−12+1.y−52+1.z−12=0⇔3x+y+z=92 2.

Gọi N là trung điểm của AC thì N32;2;−12. Khi đó mặt phẳng trung trực của AC đi qua N và nhận CA→=1;2;3 làm véc tơ pháp tuyến có phương trình: 1.x−32+2.y−2+3.z+12=0⇔x+2y+3z=4 3.

Vì I(a;b;c) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên I thuộc giao tuyến hai mặt phẳng trung trực của AB và AC đồng thời I∈ABC. Từ (1);(2);(3) ta có tọa độ của I thỏa mãn hệ phương trình a−8b+5c=−173a+b+c=92a+2b+3c=4⇔a=1415b=6130c=−13.

Do đó P=15.1415+30.6130+75.−13=50.