Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, người ta treo một quả lồng đèn có dạng một hình lập phương ABCD.A'B'C'D' cạnh bằng 10 cm sao cho điểm A gần mặt đất (xem hình vẽ dưới).

Nhận xét ban đầu: Ta thấy bốn đỉnh \(B,D,A'\) và \(A\) tạo thành một tam diện vuông bên trong hình lập phương \(ABCD.A'B'C'D'\) nên ta có thể chọn hệ trục tọa độ \(Oxyz\) với điểm \(A\) trùng với gốc tọa độ và các trục \(Ox,Oy,Oz\) lần lượt trùng với các cạnh \(OB,OD,OA'\) như hình vẽ dưới đây

Suy ra các tọa độ: \(A\left( {0;0;0} \right),B\left( {10;0;0} \right),D\left( {0;10;0} \right),A'\left( {0;0;10} \right)\)

Khi đó ta gọi \(\left( P \right):ax + by + cz + d = 0\) và chọn \(d = 10\), ta có: \(\left( P \right):ax + by + cz + 10 = 0\)

Từ đây lần lượt có được như sau: (với \(a,b,c \in {\mathbb{R}^ + }\)).

\(d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 10;d\left( {D;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10b + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 11;d\left( {A';\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10c + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = 12\)

Đặt \(t = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} \), khi ấy ta có dãy tỉ lệ thức sau: \(\frac{{a + 1}}{{10}} = \frac{{b + 1}}{{11}} = \frac{{c + 1}}{{12}} = t \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 10t - 1\\b = 11t - 1\\c = 12t - 1\end{array} \right.\)

Suy ra \[t = \sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}}  = \sqrt {{{\left( {10t - 1} \right)}^2} + {{\left( {11t - 1} \right)}^2} + {{\left( {12t - 1} \right)}^2}}  = \sqrt {365{t^2} - 66t + 3} \]

Khi ấy ta có phương trình: \[d\left( {B;\left( P \right)} \right) = \frac{{\left| {10a + 10} \right|}}{{\sqrt {{a^2} + {b^2} + {c^2}} }} = \frac{{\left| {100t} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }} = 10\]

\( \Leftrightarrow 265{t^2} - 66t + 3 = 0 \Leftrightarrow t = {t_0} = \frac{{33 + 7\sqrt 6 }}{{265}}\).

Vậy ta suy ra khoảng cần tìm là: \(d\left( {A;\left( P \right)} \right) = {\left. {\frac{{\left| {10} \right|}}{{\sqrt {365{t^2} - 66t + 3} }}} \right|_{t = {t_0}}} = \frac{{33 - 7\sqrt 6 }}{3} \approx 5,28\)(cm)