Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, người ta thiết kế mô hình một sân khấu rộng 7 mét, cao 3 mét. Bức tường bên trái nằm trên mặt phẳng Oxz, bức tường bên phải song song với bức tường b
15/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), người ta thiết kế mô hình một sân khấu rộng \(7\) mét, cao \(3\) mét. Bức tường bên trái nằm trên mặt phẳng \(Oxz\), bức tường bên phải song song với bức tường bên trái. Một ngọn đèn được đặt tại điểm \(L\left( {4;0;5} \right)\) và một chiếc cọc thẳng đứng có chiều cao \(h\) và có chân đặt tại điểm \(H\left( {1;6;0} \right)\) như hình vẽ dưới đây:
Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\)
Cao độ của bóng chiếc cọc in trên bức tường bên phải được tính theo công thức \(z = \frac{{7h}}{6} - 5\)
Khi chiều cao của cọc là \(2\) (mét) thì sin của góc tạo bởi tia sáng (đi qua đỉnh cọc) và mặt sàn sân khấu bằng \(\frac{1}{{\sqrt 2 }}\)
Để bóng của chiếc cọc nằm trọn trong giới hạn chiều cao của bức tường bên phải thì tập hợp các giá trị của \(h\) là đoạn \(\left[ {a;b} \right]\). Khi đó \(a + b = 4\)
Xét mệnh đề a)
Phương trình mặt phẳng chứa bức tường bên phải là \(y = 7\) nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Tọa độ đèn là \(L\left( {4;0;5} \right)\) và chân cọc \(H\left( {1;6;0} \right)\) nên đỉnh cọc có tọa độ \(T\left( {1;6;h} \right)\)
Vectơ chỉ phương của tia sáng \(LT\) là \(\overrightarrow {{u_{LT}}} = \left( { - 3;6;h - 5} \right)\)
Phương trình tia sáng \(LT\) là: \(\left\{ \begin{array}{l}x = 4 - 3t\\y = 6t\\z = 5 + \left( {h - 5} \right)t\end{array} \right.\left( {t \in \mathbb{Z}} \right)\)
Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\) nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
Đỉnh cọc lúc này có tọa độ \(T'\left( {1;6;2} \right)\) nên vectơ chỉ phương của tia sáng là \[\overrightarrow {{u_{LT'}}} = \left( { - 1;2; - 1} \right)\]
Gọi \(\alpha \) là góc tạo bởi tia sáng và mặt sàn, khi đó: \(\sin \alpha = \frac{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} .\overrightarrow k } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{u_{LT'}}} } \right|.\left| {\overrightarrow k } \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 6 }}\) nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Để bóng in trên bức tường thì bóng phải nằm trong phạm vi chiều cao của tường nên \(0 \le z \le 3\)
Giao điểm với tường phải có phương trình \(y = 7\) nên \(6t = 7 \Leftrightarrow t = \frac{7}{6} \Rightarrow z = \frac{{7h - 5}}{6}\)
Thay vào ta được bất phương trình: \(0 \le \frac{{7h - 5}}{6} \le 3 \Leftrightarrow \frac{5}{7} \le h \le \frac{{23}}{7}\) nên \(h \in \left[ {\frac{5}{7};\frac{{23}}{7}} \right]\)
Khi đó \(\left\{ \begin{array}{l}a = \frac{5}{7}\\b = \frac{{23}}{7}\end{array} \right.\) suy ra \(a + b = \frac{5}{7} + \frac{{23}}{7} = \frac{{28}}{7} = 4\) nên mệnh đề d) đúng