Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt sàn là mặt phẳng Oxy, cửa sổ hình vuông ABCD cạnh bằng 2 m nằm trong mặt phẳng y = 4 và song song với (Oxz). Tâm cửa sổ là điểm G(3;4;2) và các c
15/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) mới mặt sàn là mặt phẳng \(Oxy\), cửa sổ hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2\)m nằm trong mặt phẳng \(y = 4\) và song song với \(\left( {Oxz} \right)\). Tâm cửa sổ là điểm \(G\left( {3;\,4;\,2} \right)\) và các cạnh song song với các trục tọa độ. Người ta đặt một nguồn sáng tại điểm \(L\left( {3;\,0;\,5} \right)\) chiếu sáng qua cửa sổ và tạo bóng trên mặt sàn
Phương trình mặt phẳng chứa cửa số là \(y - 4 = 0\)
Tọa độ tâm của bóng cửa sổ trên mặt sàn là \(G'\left( {3;\,\frac{{20}}{3};\,0} \right)\)
Diện tích bóng của cửa sổ trên mặt sàn bằng \(18,75\)m2
Nếu hạ thấp nguồn sáng \(L\) xuống vị trí mới là \(L'\left( {3;\,0;\,4} \right)\) thì diện tích bóng mới sẽ tăng thêm hơn \(200\% \) so với diện tích bóng ban đầu
Từ hình vẽ ta xác định \(A\left( {4;4;1} \right),B\left( {2;4;1} \right),C\left( {2;4;3} \right),D\left( {4;4;3} \right)\)
Xét mệnh đề a)
Theo đề bài thì cửa sổ hình vuông \(ABCD\) cạnh bằng \(2\)m nằm trong mặt phẳng \(y = 4\)
Suy ra Phương trình mặt phẳng chứa cửa số là \(y - 4 = 0\)nên mệnh đề a) đúng
Xét mệnh đề b)
Gọi \(G'\)là giao điểm của đường thẳng \(LG\)lên mặt phẳng \(\left( {Oxy} \right)\) nên \(\overrightarrow {LG} = \left( {0;4; - 3} \right)\)
Phương trình đường thẳng \(LG:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 3t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Tại giao điểm với mặt sàn \(\left( {z = 0} \right) \Leftrightarrow 5 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{3}{5}\) nên \(G'\left( {3;\frac{{20}}{3};0} \right)\)nên mệnh đề b) đúng
Xét mệnh đề c)
Cách 1: Vectơ \(\overrightarrow {LA} = \left( {1;4; - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LA:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 4t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Khi đó: \(LA \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{4}\). Mà \(A' \in LA \Rightarrow A'\left( {\frac{{17}}{4};5;0} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow {LB} = \left( { - 1;4; - 4} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LB:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 4t}\\{z = 5 - 4t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(LB \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 4t = 0 \Rightarrow t = \frac{5}{4}\) mà \(B' \in LB \Rightarrow B'\left( {\frac{7}{4};5;0} \right)\) nên \[A'B' = \sqrt {{{\left( {\frac{7}{4} - \frac{{17}}{4}} \right)}^2}} = 2,5\](m)
Vectơ \(\overrightarrow {LC} = \left( { - 1;4; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LC:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - k}\\{y = 4k}\\{z = 5 - 2k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(LC \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}\) mà \(C' \in LC \Rightarrow C'\left( {\frac{1}{2};10;0} \right)\)
Vectơ \(\overrightarrow {LD} = \left( {1;4; - 2} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(LD:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + k}\\{y = 4k}\\{z = 5 - 2k}\end{array}} \right.\left( {k \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(LD \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 5 - 2k = 0 \Rightarrow k = \frac{5}{2}\). Mà \(D' \in LD \Rightarrow D'\left( {\frac{{11}}{2};10;0} \right)\)
Khoảng cách \(C'D' = \sqrt {{{\left( {\frac{{11}}{2} - \frac{1}{2}} \right)}^2}} = 5\)(m)
Chiều cao hình thang cân \(A'B'C'D':h = \left| {{y_{D'}} - {y_{A'}}} \right| = 5\left( m \right)\)
Vậy \({S_{A'B'C'D'}} = \frac{{2,5 + 5}}{2}.5 = 18,75\left( {{m^2}} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Cách 2: Gọi \(M\left( {{x_M};4;{z_M}} \right)\)là một điểm thuộc cửa sổ.
Phương trình đường thẳng \(LM:\,\,\frac{{x - 3}}{{{x_M} - 3}} = \frac{{y - 0}}{{4 - 0}} = \frac{{z - 5}}{{{z_M} - 5}}\)
Tại mặt sàn \(\left( {z = 0} \right)\,\)ta có tỉ lệ : \(\frac{y}{4} = - \frac{5}{{{z_M} - 5}} \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - {z_M}}}\)
Với cạnh \(AB\): \({z_M} = 1 \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - 1}} = 5\) thì chiều rộng bóng: \({r_1} = \frac{5}{{5 - 1}}.2 = 2,5\)(m)
Với cạnh \(CD\): \({z_M} = 3 \Rightarrow y = \frac{{20}}{{5 - 3}} = 10\) thì chiều rộng bóng: \({r_2} = \frac{5}{{5 - 3}}.2 = 5\)(m)
Chiều cao bóng: \(h = 10 - 5 = 5\)(m) nên \({S_{A'B'C'D'}} = \frac{{2,5 + 5}}{2}.5 = 18,75\left( {{m^2}} \right)\) nên mệnh đề c) đúng
Xét mệnh đề d)
Vectơ \(\overrightarrow {L'A} = \left( {1;4; - 3} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(L'A:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 + t}\\{y = 4t}\\{z = 4 - 3t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
\(L'A \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 4 - 3t = 0 \Rightarrow t = \frac{4}{3}\). Mà \(A'' \in L'A \Rightarrow A''\left( {\frac{{13}}{3};\frac{{16}}{3};0} \right)\)
Tương tự cho \(B\left( {2;4;1} \right)\), ta tìm được \(B''\left( {\frac{5}{3};\frac{{16}}{3};0} \right)\) suy ra \(A''B'' = \sqrt {{{\left( {\frac{5}{3} - \frac{{13}}{3}} \right)}^2}} = \frac{8}{3}\)(m)
Vectơ \(\overrightarrow {L'C} = \left( { - 1;4; - 1} \right)\) nên phương trình đường thẳng \(L'C:\,\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3 - t}\\{y = 4t}\\{z = 4 - t}\end{array}} \right.\left( {t \in \mathbb{R}} \right)\)
Ta có: \(L'C \cap \left( {Oxy} \right) \Leftrightarrow 4 - t = 0 \Rightarrow t = 4\). Mà \(C'' \in L'C \Rightarrow C''\left( { - 1;16;0} \right)\)
Tương tự cho \(D\left( {4;4;3} \right)\), ta tìm được \(D''\left( {7;16;0} \right)\) nên \(C''D'' = \sqrt {{{\left( {7 + 1} \right)}^2}} = 8\)(m)
Chiều cao hình thang cân \(A''B''C''D'':h = \left| {{y_{D''}} - {y_{A''}}} \right| = \frac{{32}}{3}\) nên \({S_{A''B''C''D''}} = \frac{{\frac{8}{3} + 8}}{2}.\frac{{32}}{3} = \frac{{512}}{9}\)(m2)
Phần trăm tăng thêm : \(\% T = \frac{{{S_{A''B''C''D''}} - {S_{A'B'C'D'}}}}{{{S_{A'B'C'D'}}}}.100 = \frac{{\frac{{512}}{9} - 18,75}}{{18,75}}100 \approx 203 > 200\)nên mệnh đề d) đúng