Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (P) chứa đường thẳng d: (x - 2)/1 = (y - 1)/2 = (z + 1)/2 và tạo với đường thẳng Δ: x = t, y = 1 + t, z = -2 một góc lớn nhất. Biết phương

Đáp án: 1.

Đường thẳng \(d\) có vectơ chỉ phương \({\vec u_d} = (1;2;2)\) và đi qua điểm \(M(2;1; - 1)\).

Đường thẳng \(\Delta \) có vectơ chỉ phương \({\vec u_\Delta } = (1;1;0)\).

Mặt phẳng \((P)\) chứa \(d\) nên vectơ pháp tuyến \({\vec n_P} \bot {\vec u_d}\).

Gọi \(\alpha \) là góc giữa đường thẳng \(\Delta \) và mặt phẳng \((P)\). Ta có công thức:

\(\sin \alpha  = \frac{{|{{\vec n}_P} \cdot {{\vec u}_\Delta }|}}{{|{{\vec n}_P}| \cdot |{{\vec u}_\Delta }|}} = \cos ({\vec n_P},{\vec u_\Delta })\)

Để góc \(\alpha \) lớn nhất thì góc giữa \({\vec n_P}\) và \({\vec u_\Delta }\) phải nhỏ nhất. Điều này xảy ra khi \({\vec n_P}\) là hình chiếu của \({\vec u_\Delta }\) lên mặt phẳng vuông góc với đường thẳng \(d\).

Khi đó, vectơ pháp tuyến \({\vec n_P}\) được xác định bởi: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right]\)

Tính tích có hướng: \([{\vec u_\Delta },{\vec u_d}] = (1 \cdot 2 - 0 \cdot 2;0 \cdot 1 - 1 \cdot 2;1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = (2; - 2;1)\).

Tính VTPT: \({\vec n_P} = \left[ {{{\vec u}_d},[{{\vec u}_\Delta },{{\vec u}_d}]} \right] = (6;3; - 6)\).

Chọn VTPT tối giản: \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\).

Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M(2;1; - 1)\) và có VTPT \({\vec n_P} = (2;1; - 2)\):

\(2(x - 2) + 1(y - 1) - 2(z + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow 2x + y - 2z - 7 = 0\)

Đối chiếu với phương trình \(ax + by + cz - 7 = 0\), ta được: \(a = 2\),\(b = 1\),\(c =  - 2\)

Giá trị của biểu thức \(T = 2 + 1 + ( - 2) = 1\).