$d) Sai. Ta có \[D\left( {0;5;2} \rig (ảnh 1)$

a) Sai. Ta có \[A\left( {3; - 1;4} \right)\] có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]là\[{A_1}\left( {3; - 1;0} \right)\] và\[{A_1}\] là trung điểm của \[AA'\]. Suy ra tọa độ điểm đối xứng của \[A\left( {3; - 1;4} \right)\]qua mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]là \[A'\left( {3; - 1; - 4} \right)\].

b) Đúng. Ta có \[\overrightarrow {MN\,} = \left( { - 2; - 2;1} \right)\] nên \[MN = \sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2} + {1^2}} \].

Khi đó \[AM + MN + NB = AM + NB + 3\]. Bài toán trở thành tìm \[AM + NB\] nhỏ nhất với \[M \in ({\rm{Ox}}y)\].

Do vectơ \[\overrightarrow {MN\,} = \left( { - 2; - 2;1} \right)\]cố định.

Dựng \[\overrightarrow {BD\,} = \overrightarrow {NM\,} \]tìm được \[D\left( {0;5;2} \right)\]cố định, tứ giác \[MNBD\] là hình bình hành suy ra \[NB = MD\]

+) \[AM = A'M\] nên

\[AM + NB = A'M + MD \ge A'D\].

Dấu bằng xảy ra khi \[A',M,D\]thẳng hàng tức là \[M = \left( {\,Oxy} \right) \cap A'D\].

+) \[A'D = \sqrt {{{\left( {0 - 3} \right)}^2} + {{\left( {5 + 1} \right)}^2} + {{\left( {2 + 4} \right)}^2}} \, = 9\].

+ Giá trị nhỏ nhất \[AM + NB = 9\].

Vậy giá trị nhỏ nhất của \[AM + MN + NB = 9 + 3 = 12\].

c) Đúng. \[C\] là điểm thuộc mặt phẳng \[\left( {{\rm{Ox}}y} \right)\]nên gọi \[C\left( {x;y;0} \right)\].

Ta có\[\overrightarrow {AB\,} = \left( { - 5;4; - 1} \right);\overrightarrow {AC\,} = \left( {x - 3;y + 1; - 4} \right)\].

Do \(A,B,C\) thẳng hàng nên ta có \[\overrightarrow {AC\,} = k\overrightarrow {AB\,} \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - 3 = - 5k\\y + 1 = 4k\\ - 4 = - k\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 17\\y = 15\\k = 4\end{array} \right. \Rightarrow \,C\left( { - 17;15;0} \right)\].

Khi đó \[\overrightarrow {CA\,} = \left( {20; - 16;4} \right) = 4\left( {5; - 4;1} \right),\,\overrightarrow {CB\,} \left( {15; - 12;3} \right) = 3\left( {5; - 4;1} \right)\].

Vậy \[\overrightarrow {CA\,} = \frac{4}{3}\overrightarrow {CB\,} \].

d) Sai. Ta có \[D\left( {0;5;2} \right) \Rightarrow \,a = 0,\,b = 5,c = 2\]nên \[a + \,b + c = 7\].

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, mặt phẳng (Oxz) có một vectơ pháp tuyến là