Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị trên trục tính bằng cm), người ta lắp một chiếc quạt trần ba cánh, các đầu cánh tạo thành một tam giác đều. Khi quạt quay, các đầu cánh di chu
22/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (đơn vị trên trục tính bằng cm), người ta lắp một chiếc quạt trần ba cách, các đầu cánh tạo thành một tam giác đều. Khi quạt quay, các đầu cánh di chuyển trên một mặt phẳng song song với \(\left( {Oxy} \right)\). Tại một thời điểm quạt dừng quay, người ta xác định được tọa hai đầu cánh quạt là \(A\left( {10;\,20;\,280} \right)\) và \(B\left( {22;\,32;\,280} \right)\). Biết rằng điểm treo quạt \(S\left( {a;\,b;\,c} \right)\) trên trần nhà và có hoành độ lớn hơn \(16\), trục của quạt có phương thẳng đứng và có chiều dài \(60\)cm. Tính giá trị biểu thức \(T = a + b + c\)
Độ dài cạnh \(AB = \sqrt {{{\left( {22 - 10} \right)}^2} + {{\left( {32 - 20} \right)}^2}} = 12\sqrt 2 \)
Bán kính đường tròn ngoại tiếp là: \(R = IA = IB = \frac{{12\sqrt 2 }}{{\sqrt 3 }} = 4\sqrt 6 \Rightarrow {R^2} = 96\)
Vì trục quạt thẳng đứng, điểm treo \(S\left( {a;\,b;\,340} \right)\) và tâm quay \(I\) sẽ có dùng hoành độ và tung độ nên tâm \(I\left( {a;\,b;\,280} \right)\)
Hệ phương trình khoảng cách \(\left\{ \begin{array}{l}I{A^2} = 96\\I{B^2} = 96\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{\left( {a - 10} \right)^2} + {\left( {b - 20} \right)^2} = 96\\{\left( {a - 22} \right)^2} + {\left( {b - 32} \right)^2} = 96\end{array} \right. \Rightarrow b = 42 - a\)
Thay \(b = 42 - a\) vào 1 trong 2 phương trình, ta được \({a^2} - 32a + 244 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 16 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\)
Do \(a > 16\) nên \(\left\{ \begin{array}{l}a = 16 + 2\sqrt 3 \\b = 26 - 2\sqrt 3 \end{array} \right.\) nên \(T = a + b + c = 16 + 2\sqrt 3 + 26 - 2\sqrt 3 + 340 = 382\)