Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz (đơn vị đo trên mỗi trục tương ứng với 100 m trong thực tế, mặt đất là mặt phẳng Oxy). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm A(10,10,10)
16/22
Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\) (Đơn vị đo trên mỗi trục tương ứng với \(100\)m trong thực tế, mặt đất là mặt phẳng \(Oxy\)). Lúc đó, một chiếc máy bay bắt đầu di chuyển từ điểm \(A\left( {10;10;10} \right)\) với vận tốc không đổi \(150\)(km/h) theo hướng về điểm \(B\left( {34;42;40} \right)\). Khi tới \(B\), máy bay thay đổi hướng bay theo hướng về điểm \(C\left( {114;42;100} \right)\) với vận tốc giữ nguyên là \(150\)(km/h).Sau khi bay theo hướng mới được \(20\) phút (tức là mới tới điểm \(D \in BC\)) thì bất ngờ gặp gió lớn khiến hướng bay của nó lệch đi \(45^\circ \) theo phương nằm ngang (tức là nếu \(\overrightarrow u \) là vectơ hình chiếu xuống mặt đât của đoạn đường từ điểm \(D\) trở đi thì góc lượng giác \(\left( {\vec \imath ;\vec u} \right) = 45^\circ \) ) . Đồng thời, đường bay mới dốc lên trên sao cho cứ di chuyển được khoảng cách \(2\sqrt 2 \)(km) theo phương nằm ngang thì máy bay nâng thêm được \(1\)km độ cao. Vận tốc bay lúc này giảm còn \(120\)(km/h). Máy bay tiếp tục bay theo hướng lệch trong \(15\) phút nữa thì tới điểm \(E\)
Tổng thời gian bay thực tế của máy bay trong cả hành trình này là \(1\) giờ bay
Khi bắt đầu gặp gió lớn, máy bay đang ở độ cao \(70\)km so với mặt đất.
Gọi \(E\left( {a;b;c} \right)\) là vị trí cuối cùng của máy bay trong hành trình này. Khi đó \(a + b + c = 230\)
Cosin của góc tạo bởi hướng bay dự kiến và hướng bay thực tế khi gặp gió bằng \(\frac{{11}}{{15}}\).
Giai đoạn 1: Từ \(A\) đến \(B\)
Tọa độ: \(A\left( {10;10;10} \right)\) và \[B\left( {34;42;40} \right)\] nên vectơ \(\overrightarrow {AB} = \left( {24;32;30} \right)\).
Độ dài trên trục \(\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \sqrt {{{24}^2} + {{32}^2} + {{30}^2}} = 50\)đơn vị
Khoảng cách thực tế: \({s_1} = 50.0,1 = 5\)km
Thời gian bay đoạn \(AB\): \({t_1} = \frac{5}{{150}} = \frac{1}{{30}}\)(giờ) = 2 phút.
Giai đoạn 2: Từ \(B\) đến \(D\)(trên đường thẳng \(BC\))
Tọa độ\(C\left( {114;42;100} \right)\). Vectơ \(\overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right)\).
Khoảng cách thực tế: \(BC = \sqrt {{{80}^2} + {{60}^2}} .0,1 = 10\)(km).
Máy bay bay theo hướng này trong 20 phút thì quãng đường \({s_2} = BD = 150.\frac{1}{3} = 50\)(km).
Vì máy bay bay 50 km theo hướng \(\overrightarrow {BC} \)(trong khi đoạn \(BC\)chỉ dài 10 km), nên máy bay đã bay vượt quá điểm \[C\].
Tọa độ điểm \(D\):\(D = B + 5\left( {C - B} \right) = \left( {34 + 5.80;42 + 5.0;40 + 5.60} \right) = \left( {434;42;340} \right)\).
Giai đoạn 3: Từ \(D\)đến \(E\) (khi gặp gió)
Thời gian: 15 phút = \(\frac{1}{4}\)giờ. Vận tốc: 120 km/h thì quãng đường \(DE = 120.\frac{1}{4} = 30\)(km).
Đổi ra đơn vị trục tọa độ: \(\frac{{30}}{{0,1}} = 300\)đơn vị
Gọi vectơ \(\overrightarrow {DE} = \left( {x;y;z} \right)\). Ta có \({x^2} + {y^2} + {z^2} = {300^2}\,\,\left( 1 \right)\)
Độ dốc: “Cứ đi \(2\sqrt 2 \) km ngang thì lên 1km cao” \( \Rightarrow \frac{z}{{\sqrt {{x^2} + {y^2}} }} = \frac{1}{{2\sqrt 2 }} \Rightarrow {x^2} + {y^2} = 8{z^2}\,\,\left( 2 \right)\)
Thay \(\left( 2 \right)\)vào\(\left( 1 \right)\): \(8{z^2} + {z^2} = 9000 \Rightarrow 9{z^2} = 90000 \Rightarrow z = 100\)(do máy bay lên)
Suy ra\(\sqrt {{x^2} + {y^2}} = 200\sqrt 2 \). Với góc lệch so với phương ngang:
Vậy \(\overrightarrow {DE} = \left( {200;200;100} \right)\)
Tọa độ điểm\(E:\,E = D + \overrightarrow {DE} = \left( {434 + 200;42 + 200;340 + 100} \right) = \left( {634;242;440} \right)\):
Xét mệnh đề a)
Tổng thời gian \(t = {t_{AB}} + {t_{BD}} + {t_{DE}} = 2 + 20 + 15 = 37\) phút nên mệnh đề a) sai
Xét mệnh đề b)
Khi gặp gió lớn (tại điểm\(D\)), độ cao thực tế là\({z_D}.0,1 = 340.0,1 = 34\)km nên mệnh đề b) sai
Xét mệnh đề c)
\(E\left( {634;242;440} \right) \Rightarrow a + b + c = 634 + 242 + 440 = 1316\)nên mệnh đề c) sai
Xét mệnh đề d)
Hướng dự kiến \({\vec v_1} = \overrightarrow {BC} = \left( {80;0;60} \right) = 20\left( {4;0;3} \right)\); thực tế: \({\vec v_2} = \overrightarrow {DE} = \left( {20;20;10} \right) = 10\left( {2;2;1} \right)\)
Tính cosin góc \(\varphi \) giữa hai vectơ: \(\cos \varphi = \frac{{\left| {4.2 + 0.2 + 3.1} \right|}}{{\sqrt {{4^2} + {0^2} + {3^2}} .\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{11}}{{15}}\) nên mệnh đề d) đúng