Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho vectơ u=(3;2;-6), mặt phẳng (P): 2x + 2y + z - 10 = 0 và mặt cầu (S): x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 2z - 3 = 0 có tâm I.

14/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho $\vec u = (3;2; - 6)$, mặt phẳng $(P):2x + 2y + z - 10 = 0$ và mặt cầu $(S):{x^2} + {y^2} + {z^2} + 4x + 2y - 2z - 3 = 0$ có tâm $I$.

Mặt cầu $(S)$ có tâm $I(2;1; - 1)$.

ĐúngSai

Khoảng cách từ tâm $I$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $5$.

ĐúngSai

Gọi $\alpha $ là góc giữa giá của $\vec u$ và mặt phẳng $(P)$. Khi đó $\cos \alpha = \frac{4}{{21}}$.

ĐúngSai

Gọi $M,N$ là hai điểm lần lượt thuộc mặt cầu $(S)$ và mặt phẳng $(P)$. Biết đường thẳng $MN$ có vectơ chỉ phương là $\vec u$. Khi đoạn $MN$ đạt giá trị lớn nhất thì tọa độ $M(a;b;c)$ với $a - 2b + 3c = 4$.

ĐúngSai

Giải thích

a) Sai.

Phương trình mặt cầu $(S)$ có các hệ số: $A = 4,B = 2,C = - 2$.

Tọa độ tâm $I$ được xác định bởi:${x_I} = \frac{4}{{ - 2}} = - 2;{y_I} = \frac{2}{{ - 2}} = - 1;{z_I} = \frac{{ - 2}}{{ - 2}} = 1$.

Vậy tâm mặt cầu là $I( - 2; - 1;1)$.

b) Đúng.

Sử dụng tọa độ tâm $I( - 2; - 1;1)$ vừa tìm được:

$d(I,(P)) = \frac{{|2( - 2) + 2( - 1) + 1 - 10|}}{{\sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{| - 4 - 2 + 1 - 10|}}{{\sqrt 9 }} = \frac{{| - 15|}}{3} = 5$.

c) Sai.

Góc $\alpha $ giữa đường thẳng (có VTCP $\vec u$ và mặt phẳng $\left( P \right)$ (có VTPT ${\vec n_P} = (2;2;1)$) được tính theo công thức:

$\sin \alpha = \frac{{|\vec u \cdot {{\vec n}_P}|}}{{|\vec u| \cdot |{{\vec n}_P}|}} = \frac{{|3(2) + 2(2) + ( - 6)(1)|}}{{\sqrt {{3^2} + {2^2} + {{( - 6)}^2}} \cdot \sqrt {{2^2} + {2^2} + {1^2}} }} = \frac{{|6 + 4 - 6|}}{{7 \cdot 3}} = \frac{4}{{21}}$ nên $\cos \alpha \ne \frac{4}{{21}}$.

d) Sai.

$+ Vì $H \in (P)$, ta thay tọa độ của $H$ vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]: (ảnh 1)$

Gọi $H$là hình chiếu của $M$ lên \[\left( P \right)\].

Ta có: $\sin \alpha = \frac{{MH}}{{MN}} = \frac{4}{{21}} \Leftrightarrow MN = \frac{{21}}{4}MH \Rightarrow M{N_{\max }} \Leftrightarrow M{H_{\max }}$.

Khi đó $M$ nằm trên tia đối của tia $IH$ và $IM = 3$.

Xét $\frac{{MI}}{{MH}} = \frac{3}{8} \Rightarrow 8MI = 3MH \Rightarrow 8\overrightarrow {MI} = 3\overrightarrow {MH} \Rightarrow 8\overrightarrow {MI} - 3\overrightarrow {MH} = \overrightarrow 0 \Rightarrow M\left( { - 4; - 3;0} \right)$.

Suy ra $a - 2b + 3c = - 4 + 6 + 0 = 2$.

Ta tìm tọa độ điểm $H$ như sau:

+ $IH$ qua điểm $I$ nhận VTPT của \[\left( P \right)\] làm VTCP nên $IH:\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = - 2 + 2t}\\{y = - 1 + 2t}\\{z = 1 + t}\end{array}} \right.$.

+ $H \in IH$, tọa độ của $H$ có dạng $H( - 2 + 2t; - 1 + 2t;1 + t)$.

+ Vì $H \in (P)$, ta thay tọa độ của $H$ vào phương trình mặt phẳng \[\left( P \right)\]:

$\begin{array}{l}2( - 2 + 2t) + 2( - 1 + 2t) + (1 + t) - 10 = 0 - 4 + 4t - 2 + 4t + 1 + t - 10 = 0\\ \Leftrightarrow t = \frac{5}{3} \Rightarrow H\left( {\frac{4}{3};\frac{7}{3};\frac{8}{3}} \right).\end{array}$