Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho tứ diện ABCD với A(1; 2; -1), B(2; 0; 1), C(0; 1; 2) và D(1; 1; 1).

14/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho tứ diện \(ABCD\) với \(A\left( {1;2; - 1} \right)\), \(B\left( {2;0;1} \right)\), \(C\left( {0;1;2} \right)\) và \(D\left( {1;1;1} \right)\).

[NB] Gọi \(DH\) là đường cao của tứ diện. Một vectơ chỉ phương của \(DH\)là \(\overrightarrow u = \left( {4;5;3} \right)\).

ĐúngSai

[TH] Cosin góc tạo bởi đường thẳng \(AD\) và mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là \(\frac{{\sqrt {10} }}{{50}}\).

ĐúngSai

[TH] Phương trình của mặt cầu tâm \(D\) tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = 50\).

ĐúngSai

[VD,VDC] Gọi \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ABC\). Nếu \(\left( P \right)\)có phương trình dạng \[ax + by + cz - 2 = 0\] là mặt phẳng đi qua điểm \(G\) và cách điểm \(D\) một khoảng cách lớn nhất thì \(a + 2b + 3c = 9\).

ĐúngSai

Giải thích

Chọn a) Đúng | b) Sai| c) Sai | d) Đúng

a) Ta có \(\overrightarrow {AC} = \left( { - 1; - 1;3} \right)\) và \(\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 2;2} \right)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(DH\) là \({\overrightarrow u _{DH}} = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\).

Chọn ĐÚNG.

b) \(\overrightarrow {AD} = \left( {0; - 1;2} \right)\)

Suy ra \(\sin \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {AD} \cdot {{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}}{{\left| {\overrightarrow {AD} } \right| \cdot \left| {{{\overrightarrow u }_{DH}}} \right|}} = \frac{1}{{\sqrt 5 \cdot 5\sqrt 2 }} = \frac{{\sqrt {10} }}{{50}}\).

\(\cos \left( {AD,\left( {ABC} \right)} \right) = \sqrt {1 - \frac{{10}}{{2500}}} = \frac{{\sqrt {2490} }}{{50}}\).

Chọn SAI.

c) Theo trên, ta có vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\(\overrightarrow n = \left[ {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {AB} } \right] = \left( {4;5;3} \right)\)

Suy ra phương trình mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là : \(4x + 5y + 3z - 11 = 0\)

Do đó \({\rm{d}}\left( {D,\left( {ABC} \right)} \right) = \frac{{\left| {4 \cdot 1 + 5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 - 11} \right|}}{{\sqrt {44} }} = \frac{1}{{\sqrt {44} }}\).

Phương trình mặt cầu tâm \(D\), tiếp xúc với mặt phẳng \(\left( {ABC} \right)\) là

\({\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} + {\left( {z - 1} \right)^2} = \frac{1}{{44}}\).

Chọn SAI.

d) Vì \(G\) là trọng tâm tam giác \(ABC\) nên suy ra \(G\left( {1;1;\frac{2}{3}} \right)\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng đi qua điểm \(G\).

Ta có \({\rm{d}}\left( {D,\left( P \right)} \right) \le DG\).

Do đó, khoảng cách từ điểm \(D\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) lớn nhất là \(DG\).

Suy ra mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua điểm \(G\) và nhận \(\overrightarrow {GD} = \frac{1}{3}\left( {0;0;1} \right)\) làm vecto pháp tuyến.

\( \Rightarrow \) Phương trình mặt phẳng \(\left( P \right):3z - 2 = 0\).

Vậy \(a = b = 0,c = 3\).

\(a + 2b + 3c = 9\).

Chọn ĐÚNG.