Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

55/60

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P) : 2x-y-2z-2=0 và mặt phẳng (Q):2x-y-2z+10=0 song song với nhau. Biết A(1;2;1) là điểm nằm giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) . Gọi (S) là mặt cầu qua A và tiếp xúc với cả hai mặt phẳng(P) và (Q) . Biết rằng khi (S) thay đổi thì tâm của nó luôn nằm trên một đường tròn. Tính bán kính r của đường tròn đó.

r=423.

r=223

r=53

r=253

Giải thích

Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (ảnh 1)
Ta thấy M(1;0;0) là một điểm thuộc (P)
Vì (P)//(Q) nêndP,Q=dM,Q=2+1022+-12+-22=4
Giả sử I(a;b;c) là tâm của (S). Vì (S) tiếp xúc với cả (P) và (Q) nên bán kính mặt cầu (S) là R=dP,Q2=42=2
Do đó IA=2 nên I luôn thuộc mặt cầu (T) tâm A, bán kính 2.
Ngoài ra, dI,P=dI,Q=2a-b-2c-222+-12+(-2)2=2a-b-2c+1022+-12+(-2)2⇔2a-b-2c-2=2a-b-2c+10⇔2a-b-2c-2=-2a-b-2c+10⇔2a-b-2c+4=0Do đó, I luôn thuộc mặt phẳng (R): 2x-y-2z+4=0
Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên (R). Vì A, (R) cố định nên H cố định.
Ta có: AH=dA,R=2.1-2-2.1+422+(-1)2+-22=23
Mà AH⊥ (R)⇒AH⊥HI, do đó ∆AHI vuông tại H nên
HI=AI2-AH2=22-232=423
Vậy I luôn thuộc đường tròn tâm H, nằm trên mặt phẳng (R), bán kính r=423.
Chọn A