Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz , cho mặt phẳng ( P ) : 2x − 2y − z − 7 = 0 và hai điểm M ( − 2 ; 3 ; 4 ) , N ( 1 ; − 1 ; 0 ) .

a) \(d(M,(P)) = \frac{{|2( - 2) - 2(3) - (4) - 7|}}{{\sqrt {{2^2} + {{( - 2)}^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{| - 4 - 6 - 4 - 7|}}{3} = \frac{{| - 21|}}{3} = 7\).

\(d(N,(P)) = \frac{{|2(1) - 2( - 1) - (0) - 7|}}{3} = \frac{{|2 + 2 - 0 - 7|}}{3} = \frac{{| - 3|}}{3} = 1\).
Ta thấy \(7 > 1\), vậy khoảng cách từ điểm \(M\) đến mặt phẳng \((P)\) lớn hơn khoảng cách từ điểm \(N\) đến mặt phẳng \((P)\).

Vậy a) là đúng.

b) Phương trình mặt phẳng \((P)\) là \(2x - 2y - z - 7 = 0\).

Vậy, một véctơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\) là \({\vec n_P} = (2; - 2; - 1)\).

Vậy b) là sai.

c)  Mặt phẳng \((Q)\) đi qua điểm \(M( - 2;3;4)\).

Mặt phẳng \((Q)\) vuông góc với mặt phẳng \((P):2x - 2y - z - 7 = 0\).

Vectơ pháp tuyến của \((P)\) là \({\vec n_P} = (2; - 2; - 1)\).

Gọi \({\vec n_Q} = (a;b;c)\) là véctơ pháp tuyến của \((Q)\).

Vì \((Q) \bot (P)\), nên \({\vec n_Q} \cdot {\vec n_P} = 0 \Rightarrow 2a - 2b - c = 0 \Rightarrow c = 2a - 2b\).

Phương trình của mặt phẳng \((Q)\) có dạng: \(a(x + 2) + b(y - 3) + (2a - 2b)(z - 4) = 0\).

Đây là phương trình của một chùm mặt phẳng. Để tìm khoảng cách lớn nhất từ điểm \(A(7;3;4)\) đến các mặt phẳng trong chùm này, ta cần tìm khoảng cách từ \(A\) đến đường thẳng \(L\) là giao tuyến của tất cả các mặt phẳng \((Q)\).

Viết lại phương trình của \((Q)\): \(a(x + 2z - 6) + b(y - 2z + 5) = 0\).

Đường thẳng \(L\) là giao tuyến của hai mặt phẳng: \(({L_1}):x + 2z - 6 = 0\) và  \(({L_2}):y - 2z + 5 = 0\)

Vectơ pháp tuyến của \(({L_1})\) là \({\vec n_1} = (1;0;2)\). Vectơ pháp tuyến của \(({L_2})\) là \({\vec n_2} = (0;1; - 2)\).

Vectơ chỉ phương của đường thẳng \(L\) là \({\vec u_L} = \left[ {{{\vec n}_1},{{\vec n}_2}} \right]\)\( = ( - 2;2;1)\).

Để tìm một điểm thuộc \(L\), ta có thể cho \(z = 0\):

\(x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6\).

\(y + 5 = 0 \Rightarrow y =  - 5\).
Vậy điểm \(S(6; - 5;0)\) thuộc đường thẳng \(L\).

Khoảng cách lớn nhất từ điểm \(A(7;3;4)\) đến mặt phẳng \((Q)\) chính là khoảng cách từ điểm \(A\) đến đường thẳng \(L\).

Ta có \(\overrightarrow {SA}  = (1;8;4)\); \(|{\vec u_L}| = 3\); \(\left[ {\overrightarrow {SA} ,{{\vec u}_L}} \right]\)\( = (0; - 9;18)\); \(\left| {\left[ {\overrightarrow {SA} ,{{\vec u}_L}} \right]} \right| = 9\sqrt 5 \).

Khoảng cách từ \(A\) đến \(L\) là \(d(A,L) = \frac{{|\overrightarrow {SA}  \times {{\vec u}_L}|}}{{|{{\vec u}_L}|}} = \frac{{9\sqrt 5 }}{3} = 3\sqrt 5 \).

Vậy c) là đúng.

d)  Gọi \((R)\) là mặt phẳng chứa hai điểm \(M( - 2;3;4)\), \(N(1; - 1;0)\) và song song với trục \(Oy\).

Vectơ \(\overrightarrow {MN}  = (3; - 4; - 4)\).

Trục \(Oy\) có vectơ chỉ phương là \(\vec j = (0;1;0)\).

Vì mặt phẳng \((R)\) chứa \(M,N\) và song song với \(Oy\), nên véctơ pháp tuyến \({\vec n_R}\) của \((R)\) phải vuông góc với cả \(\overrightarrow {MN} \) và \(\vec j\).

Do đó, ta có thể chọn \({\vec n_R} = \left[ {\overrightarrow {MN} ,\vec j} \right]\)\( = (4;0;3)\).

Phương trình của mặt phẳng \((R)\) có dạng \(4x + 3z + D = 0\).

Vì \((R)\) đi qua điểm \(N(1; - 1;0)\), ta thay tọa độ điểm \(N\) vào phương trình ta được \(D =  - 4\).

Vậy phương trình của mặt phẳng \((R)\) là \(4x + 3z - 4 = 0\)\( \Leftrightarrow x + \frac{3}{4}z - 1 = 0\)

Đề bài cho phương trình của mặt phẳng \((R)\) có dạng \(ax + by + cz - 1 = 0\).

So sánh với \(ax + by + cz - 1 = 0\), ta suy ra: \(a = 1\), \(b = 0\), \(c = \frac{3}{4}\).

\(a + 2b + 4c = 1 + 2.0 + 4.\frac{3}{4} = 4\).
Vậy d) là đúng.