Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho mặt phẳng

6/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz,\)cho mặt phẳng \(\left( P \right):x + y - z + 6 = 0.\) Phương trình mặt phẳng \(\left( Q \right)\) đối xứng với \(\left( P \right)\) qua gốc tọa độ \(O\) là

\(\left( Q \right): - x - y + z - 6 = 0\).

\(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0\).

\(\left( Q \right):x + y + z - 6 = 0\).

\(\left( Q \right):x - y - z + 6 = 0\).

Giải thích

Cách 1:

Theo tính chất đối xứng qua \[O\] thì \(\left( P \right)\,{\rm{//}}\,\left( Q \right),\) suy ra \(\left( Q \right)\) có vectơ pháp tuyến là \(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right).\)

Lấy điểm \(M\left( {0,0,6} \right) \in \left( P \right).\)

Điểm đối xứng với \(M\) qua \(O\)là \[M'\left( {0;0; - 6} \right).\]

Mà \[M' \in \left( Q \right),\]suy ra \(\left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)

Cách 2: Gọi \(M'\) là điểm đối xứng với \(M\) qua \(O.\)

Giả sử \(M\left( {x;y;z} \right) \in \left( P \right) \Leftrightarrow \left( P \right):x + y - z + 6 = 0.\)\( \Leftrightarrow \left( { - x} \right) + \left( { - y} \right) + \left( { - z} \right) - 6 = 0.\)

\( \Rightarrow M'\left( { - x; - y; - z} \right) \in \left( Q \right):x + y - z - 6 = 0.\)