Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng

86/235

Trong không gian với hệ trục tọa độ $O x y z$ , cho mặt phẳng $(α) : 2 x + 6 y - 3 z - 1 = 0$ và ba điểm $A (1; - 1; - 5), B (0; 1; 2),$ $C (2; 3; 1)$ . Biết điểm $M$ thuộc mặt phẳng $(α)$ sao cho $P = M A^{2} + 2 M B^{2} - 2 M C^{2}$ đạt giá trị nhỏ nhất là $P_{\min}$ . Khi đó $P_{\min}$ bằng bao nhiêu (nhập đáp án vào ô trống)?

____

Click vào chỗ trống để nhập đáp án. Nhấn Enter để xác nhận, Esc để hủy.

Giải thích

Gọi $I\left( {a\,;\,b\,;\,c} \right)$ sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} = \vec 0$$ \Rightarrow \overrightarrow {OI} = \overrightarrow {OA} + 2\overrightarrow {OB} - 2\overrightarrow {OC} \Rightarrow I\left( { - 3\,;\,\, - 5\,;\,\, - 3} \right)$.

Ta có $P = M{A^2} + 2M{B^2} - 2M{C^2} = {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)^2} + 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)^2} - 2{\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)^2}$

$ = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} + 2\overrightarrow {MI} \cdot \left( {\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} - 2\overrightarrow {IC} } \right) = M{I^2} + I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2}{\rm{. }}$

Do $I{A^2} + 2I{B^2} - 2I{C^2} = 36 + 2 \cdot 70 - 2 \cdot 105 = - 34$ không đổi nên ${P_{\min }} \Leftrightarrow M{I_{\min }}$.

Và \[M{I_{\min }} = {\rm{d}}\left( {I,\,\,\left( \alpha \right)} \right) = \frac{{\left| {2 \cdot \left( { - 3} \right) + 6 \cdot \left( { - 5} \right) - 3 \cdot \left( { - 3} \right) - 1} \right|}}{{\sqrt {4 + 36 + 9} }} = 4\]. Vậy ${P_{\min }} = 4 + \left( { - 34} \right) = - 30$.

Đáp án cần nhập là: $ - 30$.