Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho mặt cầu ( S ) có tâm I ( 1 ; 2 ; − 1 ) và cắt trục Oy tại hai điểm M và N sao cho diện tích tam giác IMN bằng √ 2

83/99

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho mặt cầu $\left( S \right)$ có tâm $I\left( {1;2; - 1} \right)$ và cắt trục $Oy$ tại hai điểm $M$ và $N$ sao cho diện tích tam giác $IMN$ bằng $\sqrt 2 $. Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ có dạng ${(x + a)^2} + {y^2} - 4by + {z^2} + 2cz - 2d = 0$. Giá trị của biểu thức $T = a + b + c + d$ bằng:

4 .

3 .

0 .

1 .

Giải thích

Giải chi tiết

Khoảng cách từ điểm $I$ đến trục $Oy$ là: $d\left( {I,Oy} \right) = \sqrt {x_1^2 + y_1^2} = \sqrt 2 $.
Diện tích tam giác
$ \Leftrightarrow \sqrt 2 = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot \sqrt 2 \Leftrightarrow MN = 2$Bán kính mặt cầu ( $S$ ) là $R = IM = \sqrt {I{H^2} + H{M^2}} $
$ = \sqrt {{d^2}\left( {I,Oy} \right) + \frac{{M{N^2}}}{4}} = \sqrt {{{(\sqrt 2 )}^2} + \frac{{{2^2}}}{4}} = \sqrt 3 $

$Trên hệ trục tọa độ $Oxy$ (ảnh 1)$

Phương trình mặt cầu $\left( S \right)$ là: ${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3$
Biến đồi về dạng ${(x + a)^2} + {y^2} - 4by + {z^2} + 2cz - 2d = 0$ như sau:
${(x - 1)^2} + {(y - 2)^2} + {(z + 1)^2} = 3 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + {y^2} - 4y + {z^2} + 2z + 2 = 0$Suy ra $a = - 1;b = 1;c = 1;d = - 1 \Rightarrow T = a + b + c + d = 0$