Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai viên bi đỏ và xanh ban đầu có dạng hai mặt cầu lần lượt là (S1): (x − 10)^2 + y^2 + (z − 3)^2 = 9 và (S2): (x + 12)^2 + y^2 + (z − 4)^2 = 16.

Viên bi đỏ dạng mặt cầu \(\left( {{S_1}} \right)\) có tâm \({I_1}\left( {10;\,0;\,3} \right)\) và bán kính \({R_1} = 3\)

Viên bi xanh dạng mặt cầu \(\left( {{S_2}} \right)\) có tâm \({I_2}\left( { - 12;\,0;\,4} \right)\) và có bán kính \({R_2} = 4\)

Do hai mặt cầu chỉ lăn thẳng tịnh tiến dọc theo trục \(Ox\), tung độ và cao độ của hai tâm mặt cầu sẽ hoàn toàn không thay đổi trong suốt quá trình chuyển động

Tại thời điểm va chạm, hai mặt cầu tiếp xúc ngoài với nhau nên tiếp điểm \(M\left( {{x_0};\,{y_0};\,{z_0}} \right)\) chắc chắn phải nằm trên đoạn thẳng nối tâm là \({I_1}{I_2}\)

Khoảng cách từ tiếp điểm \(M\) đến tâm mỗi mặt cầu chính bằng bán kính của nó nên ta có:

\(\frac{{{I_1}M}}{{M{I_2}}} = \frac{{{R_1}}}{{{R_2}}} = \frac{3}{4}\)\( \Rightarrow 4.\overrightarrow {{I_1}M}  = 3.\overrightarrow {M{I_2}} \)

Suy ra: \(4\left( {{y_0} - {y_1}} \right) = 3\left( {{y_2} - {y_0}} \right) \Leftrightarrow 4\left( {{y_0} - 0} \right) = 3\left( {0 - {y_0}} \right) \Rightarrow 7{y_0} = 0 \Rightarrow {y_0} = 0\)

Tương tự: \(4\left( {{z_0} - {z_1}} \right) = 3\left( {{z_2} - {z_0}} \right) \Leftrightarrow 4\left( {{z_0} - 3} \right) = 3\left( {4 - {z_0}} \right) \Leftrightarrow 7{z_0} = 24 \Rightarrow {z_0} = \frac{{24}}{7}\)

Vậy giá trị của biểu thức \(T = {y_0} + 7{z_0} = 0 + 7.\frac{{24}}{7} = 24\)