Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng

3/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai mặt phẳng \(\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0\) và \(\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0.\) Góc giữa hai mặt phẳng \(\left( P \right)\) và \(\left( Q \right)\) bằng

\(30^\circ \).

\(45^\circ \).

\(60^\circ \).

\(90^\circ \).

Giải thích

Ta có \(\left( P \right):2x - y - {\rm{z}} - 3 = 0 \Rightarrow \) VTPT \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {2; - 1; - 1} \right)\).

\(\left( Q \right):x - {\rm{z}} - 2 = 0 \Rightarrow \)VTPT \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1;0; - 1} \right)\).

Khi đó \(\cos \left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} .\overrightarrow {{n_2}} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {{n_1}} } \right|.\left| {\overrightarrow {{n_2}} } \right|}} = \frac{{\left| {2.1 + 0.\left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right).\left( { - 1} \right)} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} .\sqrt {{1^2} + {0^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\).

Do đó \(\left( {\left( P \right),\left( Q \right)} \right) = 30^\circ \).