Trong không gian với hệ trục toạ độ Oxyz, cho hai đường thẳng d: x = - mt; y = 2 - 3t; z = 1 + (2m + 1) và d’: (x + 3)/(- 1) = (y – 1)/(2m) = (z – 2)/3 với m ∈ ℝ∖{0}.

Hướng dẫn giải:

Đáp án: a) Đúng.               b) Sai.           c) Đúng.               d) Sai.

a) Đúng. Đường thẳng d có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_d}} = \left( { - m; - 3;2m + 1} \right)\).

b) Sai. Đường thẳng d’ có vectơ chỉ phương là \(\overrightarrow {{u_{d'}}} = \left( { - 1;2m;3} \right)\).

c)  Đúng. Với m = − 3 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = 3t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 - 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{{ - 6}} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( {3; - 3; - 5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1; - 6;3} \right)\).

Ta có \(\overrightarrow u \cdot \overrightarrow {u'} = 3 \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 6} \right) + \left( { - 5} \right) \cdot 3 = 0\).

Vậy hai đường thẳng d và d’ vuông góc với nhau.

d) Sai. Với m = 2 thì d: \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = - 2t}\\{y = 2 - 3t}\\{z = 1 + 5t}\end{array}} \right.\] và d’: \(\frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{y - 1}}{4} = \frac{{z - 2}}{3}\).

Vectơ chỉ phương của d và d’ lần lượt là \(\overrightarrow u = \left( { - 2; - 3;5} \right)\) và \(\overrightarrow {u'} = \left( { - 1;4;3} \right)\).

Do đó cos(d, d’) = \(\frac{{\left| {2 - 12 + 15} \right|}}{{\sqrt {{{\left( { - 2} \right)}^2} + \left( { - 3} \right){}^2 + {5^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 1} \right)}^2} + {4^2} + {3^2}} }} = \frac{5}{{2\sqrt {247} }}\).