Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm M ( 0 ; − 1 ; 2 ) , N ( − 1 ; 1 ; 3 ) . Một mặt phẳng ( P ) đi qua M , N sao cho khoảng cách từ điểm K ( 0 ; 0 ; 2 ) đến mặt

33/49

Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hai điểm \(M\left( {0; - 1;2} \right)\), \(N\left( { - 1;1;3} \right)\). Một mặt phẳng \(\left( P \right)\) đi qua \(M\), \(N\) sao cho khoảng cách từ điểm \(K\left( {0;0;2} \right)\) đến mặt phẳng \(\left( P \right)\) đạt giá trị lớn nhất. Tọa độ một vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n \) của mặt phẳng \(\left( P \right)\) là:

\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;1} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {2; - 1;1} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {2;1; - 1} \right)\).

Giải thích

Bác Nam muốn uốn tấm tôn phẳng (ảnh 1)

Ta có: \(\overrightarrow {MN} = \left( { - 1;2;1} \right)\).

Đường thẳng \(d\) qua hai điểm \(M\), \(N\) có phương trình tham số \(\left\{ \begin{array}{l}x = - t\\y = - 1 + 2t\\z = 2 + t\end{array} \right.\) (t là tham số).

Gọi \(I\) là hình chiếu vuông góc của \(K\) lên đường thẳng \(d \Rightarrow I\left( { - t; - 1 + 2t;2 + t} \right)\).

Khi đó ta có \(\overrightarrow {KI} = \left( { - t; - 1 + 2t;t} \right)\).

Do \(KI \bot MN \Rightarrow \overrightarrow {KI} \cdot \overrightarrow {MN} = 0 \Leftrightarrow t - 2 + 4t + t = 0 \Leftrightarrow t = \frac{1}{3} \Rightarrow \overrightarrow {KI} = \left( { - \frac{1}{3}; - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right) = - \frac{1}{3}\left( {1;1; - 1} \right)\).

Ta có \(d\left( {K,\left( P \right)} \right) \le KI \Rightarrow d{\left( {K,\left( P \right)} \right)_{max}} = KI \Leftrightarrow KI \bot \left( P \right) \Rightarrow \)\(\overrightarrow n = \left( {1;1; - 1} \right)\). Chọn B.