Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm

31/235

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\], cho hai điểm \(A\left( {1;1;0} \right)\), \(B\left( {0; - 1;2} \right)\). Biết rằng có hai mặt phẳng cùng đi qua hai điểm \(A\), \(O\) và cùng cách \(B\) một khoảng bằng \(\sqrt 3 \). Vectơ nào trong các vectơ dưới đây là một vectơ pháp tuyến của một trong hai mặt phẳng đó?

\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 1} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 3} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1;5} \right)\).

\(\overrightarrow n = \left( {1; - 1; - 5} \right)\).

Giải thích

Phương trình đường thẳng qua hai điểm \(A\), \(O\) có dạng \(\left\{ \begin{array}{l}x = t\\y = t\\z = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x - y = 0\\z = 0\end{array} \right.\).

Gọi \(\left( P \right)\) là mặt phẳng cùng đi qua hai điểm \(A\), \(O\) nên \(\left( P \right)\): \(m\left( {x - y} \right) + nz = 0\), \({m^2} + {n^2} > 0\). Khi đó vectơ pháp tuyến của \(\left( P \right)\) có dạng \(\overrightarrow n = \left( {m; - m;n} \right)\).

Ta có \(d\left( {B,\left( P \right)} \right) = \sqrt 3 \Leftrightarrow \frac{{\left| {m + 2n} \right|}}{{\sqrt {{m^2} + {m^2} + {n^2}} }} = \sqrt 3 \) \( \Leftrightarrow 5{m^2} - 4mn - {n^2} = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}n = m\\n = - 5m\end{array} \right.\).

+ Với \(n = m\), ta có \(\overrightarrow n = \left( {m; - m;m} \right) = m\left( {1; - 1;1} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {{n_1}} = \left( {1; - 1;1} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).

+ Với \(n = - 5m\), ta có \(\overrightarrow n = \left( {m; - m; - 5m} \right) = m\left( {1; - 1; - 5} \right)\). Khi đó, \(\overrightarrow {{n_2}} = \left( {1; - 1; - 5} \right)\) là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \(\left( P \right)\).Chọn D.