Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(6; 0; 4), B(−3; −2; 1) và mặt phẳng (P): x + y + 5z + 1 = 0. Biết M là điểm thuộc mặt phẳng (P) sao cho MA + MB đạt giá trị nhỏ nhất,

20/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {6\,;0\,;4} \right)$, $B\left( { - 3\,; - 2\,;1} \right)$ và mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 5z + 1 = 0$. Biết $M$ là điểm thuộc mặt phẳng $\left( P \right)$ sao cho $MA + MB$ đạt giá trị nhỏ nhất, tính độ dài đoạn $OM$ (không làm tròn các bước trung gian, chỉ làm tròn kết quả cuối cùng tới hàng phần trăm).

Nhập câu trả lời ở đây

Giải thích

Đáp án: 3,48.

Đặt $f\left( {x\,;y\,;z} \right) = x + y + 5{\rm{z}} + 1$

$f\left( A \right) = 6 + 0 + 5.4 + 1 = 27 > 0$

$f\left( B \right) = - 3 - 2 + 5.1 + 1 = 1 > 0$

Suy ra hai điểm $A,\,B$ nằm cùng phía đối với mặt phẳng $\left( P \right)$.

$Phương trình tham số của đường thẳng $AC$:\(\left (ảnh 1)$

Gọi $C$ là điểm đối xứng với $B$ qua mặt phẳng $\left( P \right)$.

Ta có $MA + MB = MA + MC \ge AC$.

$MA + MB$ nhỏ nhất bẳng $AC$ khi $A,\,M,\,C$ thẳng hàng.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $\left( P \right)$.

Phương trình đường phẳng $BH$: $\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\y = 1 + 5t\end{array} \right.$.

Tọa độ $H$ là nghiệm $\left( {x\,;\,y\,;\,z} \right)$ của hệ

$\left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\y = 1 + 5t\\x + y + 5z + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\y = 1 + 5t\\\left( { - 3 + t} \right) + \left( { - 2 + t} \right) + 5\left( {1 + 5t} \right) + 1 = 0\end{array} \right.$$ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - 3 + t\\y = - 2 + t\\y = 1 + 5t\\27t + 1 = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x = - \frac{{82}}{{27}}\\y = - \frac{{55}}{{27}}\\z = \frac{{22}}{{27}}\\t = - \frac{1}{{27}}\end{array} \right.$

$H\left( { - \frac{{82}}{{27}}\,;\, - \frac{{55}}{{27}}\,;\,\frac{{22}}{{27}}} \right)$.

$H$ là trung điểm của $BC$, tọa độ $C\left( { - \frac{{83}}{{27}}\,;\, - \frac{{56}}{{27}}\,;\,\frac{{17}}{{27}}} \right)$;

Điểm $M$ là giao điểm của đường thẳng $AC$ và mặt phẳng $(P)$.

Vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$: $\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{{83}}{{27}} - 6;{\mkern 1mu} - \frac{{56}}{{27}} - 0;{\mkern 1mu} \frac{{17}}{{27}} - 4} \right) = \left( { - \frac{{245}}{{27}};{\mkern 1mu} - \frac{{56}}{{27}};{\mkern 1mu} - \frac{{91}}{{27}}} \right)$

Ta chọn vectơ chỉ phương của đường thẳng $AC$ là: $\vec u = - \frac{{27}}{7} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {35\,;{\mkern 1mu} \,8\,;{\mkern 1mu} \,13} \right)$.

Phương trình tham số của đường thẳng $AC$:$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}{x = 6 + 35t}\\{y = 8t}\\{z = 4 + 13t}\end{array}} \right.$

Thay $x,y,z$ vào phương trình mặt phẳng $\left( P \right):x + y + 5z + 1 = 0$:

$\left( {6 + 35t} \right) + 8t + 5\left( {4 + 13t} \right) + 1 = 0$$ \Leftrightarrow 6 + 35t + 8t + 20 + 65t + 1 = 0$$ \Leftrightarrow 108t + 27 = 0 \Rightarrow t = - \frac{{27}}{{108}} = - \frac{1}{4}$

Suy ra $M\left( { - \frac{{11}}{4}\,;\, - 2\,;\,\,\frac{3}{4}} \right)$

$OM = \sqrt {x_M^2 + y_M^2 + z_M^2} $

$OM = \sqrt {{{\left( { - \frac{{11}}{4}} \right)}^2} + {{( - 2)}^2} + {{\left( {\frac{3}{4}} \right)}^2}} = \sqrt {\frac{{121}}{{16}} + 4 + \frac{9}{{16}}} $

$OM = \sqrt {\frac{{130}}{{16}} + \frac{{64}}{{16}}} = \sqrt {\frac{{194}}{{16}}} = \frac{{\sqrt {194} }}{4} \approx 3,48$.