Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hai điểm A(1; 2; 1), B(2; -2; 0).

15/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ \[Oxyz\] Cho hai điểm \[A\left( {1;2;1} \right),B\left( {2; - 2;0} \right)\]

Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \[AB\] có phương trình \[x - 4y - z - 1 = 0\].

ĐúngSai

Trung điểm của đoạn thẳng \[AB\] có tọa độ \[\left( {3;0;1} \right)\].

ĐúngSai

Đường thẳng đi qua hai điểm \[A,B\] có phương trình \[\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 1 - t\end{array} \right.,t \in \mathbb{R}\].

ĐúngSai

Gọi \[\left( S \right)\] là mặt cầu đi qua hai điểm \[A,B\] và có tâm thuộc trục \[Oz\]. Biết rằng \[M\] là điểm thuộc \[\left( S \right)\]. Giá trị lớn nhất của độ dài đoạn thẳng \[OM\] bằng \[4\].

ĐúngSai

Giải thích

a) Gọi \[N\] là trung điểm của \[AB \Rightarrow N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\]

Lại có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4; - 1} \right) \Rightarrow \]mặt phẳng trung trục của đoạn AB có phương trình

\[1\left( {x - \frac{3}{2}} \right) - 4\left( {x - 0} \right) - 1\left( {z - \frac{1}{2}} \right) = 0 \Leftrightarrow x - 4y - z - 1 = 0\]

Suy ra a) ĐÚNG

b) Ta có trung điểm của AB là \[N\left( {\frac{3}{2};0;\frac{1}{2}} \right)\] suy ra b) SAI

c) Ta có \[\overrightarrow {AB} = \left( {1; - 4; - 1} \right) \Rightarrow AB:\left\{ \begin{array}{l}x = 1 + t\\y = 2 - 4t\\z = 1 - t\end{array} \right.\] suy ra c) ĐÚNG

d) Gọi \[I\left( {0;0;c} \right)\] là tâm mặt cầu. Vì mặt cầu đi qua 2 điểm A, B nên \[IA = IB = R\]

Lại có \[I{A^2} = 1 + 4 + {\left( {1 - c} \right)^2} = {c^2} - 2c + 6,\,I{B^2} = 8 + {c^2}\]

\[ \Rightarrow I{A^2} = I{B^2} \Leftrightarrow {c^2} - 2c + 6 = 8 + {c^2} \Leftrightarrow c = - 1 \Rightarrow I\left( {0;0; - 1} \right) \Rightarrow R = 3\]

Ta có \[OM \le OI + IM \Leftrightarrow OM \le OI + R = 1 + 3 = 4\]

Suy ra \[O{M_{Max}} = 4\] khi và chỉ khi 3 điểm \[I,O,M\] thẳng hàng. Suy ra d) ĐÚNG.