Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz , cho hai điểm A ( 4 ; 5 ; 6 ) , B ( 2 ; 4 ; 9 ) và mặt phẳng ( P ) : 2x + y − z + 3 = 0

15/22

Trong không gian với hệ trục tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)$, $B\left( {2\,;\,4\,;\,9} \right)$ và mặt phẳng $(P) : 2 x + y - z + 3 = 0$

[NB] Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left( P \right)$ là $\vec n = \left( {4\,;\,2\,;\, - 2} \right)$.

ĐúngSai

[TH] Toạ độ trọng tâm $G$ của tam giác $OAB$ là $G\left( {3;\frac{9}{2};\frac{{15}}{2}} \right)$.

ĐúngSai

[TH] Phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$ là $2x + y - z + 7 = 0$.

ĐúngSai

[VD] Đường thẳng $d$ thay đổi đi qua điểm $A$ và song song với mặt phẳng $\left( P \right)$. Khoảng cách nhỏ nhất từ điểm $B$ đến đường thẳng $d$ là $\frac{8}{{\sqrt 6 }}$.

ĐúngSai

Giải thích

a) [NB] Ta có $\left( P \right):2x + y - z + 3 = 0 \Rightarrow {\vec n_{\left( P \right)}} = \left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right)$.

Theo đề bài, ta có: $\vec n = \left( {4\,;\,2\,;\, - 2} \right) = 2\left( {2\,;\,1\,;\, - 1} \right) = 2{\vec n_{\left( P \right)}}$.

b) [TH] Ta có: $\left\{ \begin{array}{l}{x_G} = \frac{{{x_O} + {x_A} + {x_B}}}{3} = \frac{{0 + 4 + 2}}{3} = 2\\{y_G} = \frac{{{y_O} + {y_A} + {y_B}}}{3} = \frac{{0 + 5 + 4}}{3} = 3\\{z_G} = \frac{{{z_O} + {z_A} + {z_B}}}{3} = \frac{{0 + 6 + 9}}{3} = 5\end{array} \right. \Rightarrow G\left( {2\,;\,3\,;\,5} \right)$.

c) [TH] Vì $\left( Q \right)\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên phương trình mặt phẳng sẽ có dạng:

$2x + y - z + d = 0\quad \left( {d \ne 3} \right)$

Do mặt phẳng $\left( Q \right)$ đi qua điểm $A\left( {4\,;\,5\,;\,6} \right)$, ta thay toạ độ $A$ vào phương trình:

$2\,.\,4 + 5 - 6 + d = 0 \Rightarrow d = - 7$

Vậy phương trình mặt phẳng $\left( Q \right)$ là $2x + y - z - 7 = 0$.

d) [VD] Vì đường thẳng $d$ đi qua $A$ và $d\,{\rm{//}}\,\left( P \right)$ nên $d$ luôn nằm trong mặt phẳng $(Q)$. Theo kết quả ở câu c, ta có $\left( Q \right):2x + y - z - 7 = 0$.

Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên mặt phẳng $(Q)$ và $K$ là hình chiếu vuông góc của $B$ lên đường thẳng $d$.

Xét tam giác $BHK$ vuông tại $H$, ta có $BK \ge BH$ hay ${\rm{d}}\left( {B,d} \right) \ge {\rm{d}}\left( {B,\left( Q \right)} \right)$

Dấu “=” xảy ra khi $K$ trùng với $H$.

Vậy khoảng cách nhỏ nhất từ $B$ đến $d$ chính là khoảng cách từ $B$ đến mặt phẳng $(Q)$:

${{\rm{d}}_{\min }} = {\rm{d}}\left( {B,\left( Q \right)} \right) = \frac{{\left| {2\,.\,2 + 4 - 9 - 7} \right|}}{{\sqrt {{2^2} + {1^2} + {{( - 1)}^2}} }} = \frac{{4\sqrt 6 }}{3}$.